Најважније из лекције
Конструкција паралелограма се најчешће своди на издвајање и конструкцију основног троугла (користећи ставове СУС, ССС, или ССУ за правоугли троугао код висина), након чега се одређује четврто теме.
Пример одређивања четвртог темена: Ако имамо конструисан троугао \( ABD \), теме \( C \) добијамо у пресеку лукова кружница из темена \( B \) (полупречника \( AD \)) и темена \( D \) (полупречника \( AB \)).
Специфични паралелограми: Конструкције ромба и квадрата се знатно поједностављују коришћењем чињенице да се њихове дијагонале секу под правим углом и међусобно се полове.
Пример одређивања четвртог темена: Ако имамо конструисан троугао \( ABD \), теме \( C \) добијамо у пресеку лукова кружница из темена \( B \) (полупречника \( AD \)) и темена \( D \) (полупречника \( AB \)).
Специфични паралелограми: Конструкције ромба и квадрата се знатно поједностављују коришћењем чињенице да се њихове дијагонале секу под правим углом и међусобно се полове.
Када су дате три неколинеарне тачке, постоје три тачке од којих свака са датим тачкама може образовати паралелограм. Међутим, четврто теме је јединствено одређено када се зна тачно наспрам које тачке треба да се налази (нпр. ако конструишемо паралелограм \( ABCD \), знамо да је теме \( C \) наспрам темена \( A \)).
Четврто теме \( C \) (када су позната темена \( A, B, D \)) може се конструисати на више начина:
Пресек правих: Конструисањем праве кроз \( D \) паралелне са \( AB \) и праве кроз \( B \) паралелне са \( AD \). Теме \( C \) је њихов пресек.
Пренос дужи: Конструисањем праве кроз \( D \) паралелне са \( AB \), а затим преношењем дужине \( AB \) на ту праву (тако да је \( DC = AB \)).
Пресек кружница: Пресеком кружница \( k(B, AD) \) и \( k(D, AB) \), чиме се обезбеђује да су наспрамне странице једнаке.
Централна симетрија: Коришћењем особине да се дијагонале паралелограма полове. Теме \( C \) је централносиметрично темену \( A \) у односу на средиште дијагонале \( BD \).
Ако су познате суседне странице паралелограма и угао између њих (нпр. \( 3 \text{ cm} \), \( 4 \text{ cm} \) и угао од \( 30^\circ \)), који троугао прво конструишемо?
Одговор: Прво конструишемо троугао који чине те две странице и дијагонала помоћу правила СУС (страница-угао-страница). Након тога одређујемо четврто теме паралелограма неком од наведених метода.
Висина паралелограма је дуж чија је једна крајња тачка теме паралелограма, а друга подножје нормале на праву која је одређена једном од страница која не садржи то теме.
Две суседне странице паралелограма се најчешће означавају са \( a \) и \( b \). Висину нормалну на страницу \( a \) обележавамо са \( h_a \), а висину нормалну на страницу \( b \) са \( h_b \).
Свака висина једнака је растојању између паралелних правих на којима се налазе одговарајуће наспрамне странице паралелограма.
Ако конструишемо паралелограм где су познате странице \( a \), \( b \) и висина \( h_a \), шта је први корак?
Одговор: Први корак је конструкција правоуглог троугла чија је катета висина \( h_a \), а хипотенуза страница \( b \) (користећи став ССУ за правоугли троугао). Овим добијамо два темена паралелограма и правац основице \( a \).
Приликом конструкције ових специфичних паралелограма, често се ослањамо на особине њихових дијагонала.
Дијагонале ромба и квадрата су међусобно нормалне и полове се.
Конструкција ромба на основу дијагонала: Ако су дате дијагонале \( d_1 \) и \( d_2 \), конструишемо једну дијагоналу, затим њену симетралу (нормалу кроз средиште). На симетрали, са обе стране средишта, одмеримо половину дужине друге дијагонале. Добијене 4 тачке су темена ромба.
Квадрат је уписан у кружницу ако су сва његова темена на кружници. Квадрат је описан око кружнице ако све његове странице додирују кружницу.
Задаци за вежбање
Лак: Да би се конструисао паралелограм \( ABCD \), прво је конструисан троугао \( ABC \). Познате су странице \( a = 6 \text{ cm} \), \( b = 4 \text{ cm} \) и дијагонала \( d = 8 \text{ cm} \). На основу ког правила (става о подударности) је могуће конструисати овај почетни троугао?
Одговор: На основу правила ССС (страница-страница-страница), јер су познате све три странице тог троугла (\( a \), \( b \) и дијагонала \( d \)).
Средњи: Опишите како ћете конструисати квадрат ако је дата само дужина његове дијагонале \( d = 5 \text{ cm} \).
Одговор:
- Нацртамо дуж \( AC = 5 \text{ cm} \).
- Конструишемо симетралу дужи \( AC \), чиме добијамо средиште \( S \) и праву нормалну на \( AC \).
- Из тачке \( S \), на симетрали одмеримо \( 2,5 \text{ cm} \) (половину дијагонале) са једне и са друге стране. Те тачке су темена \( B \) и \( D \).
- Спојимо тачке \( A, B, C, D \).
Тежак: Конструише се паралелограм \( ABCD \) чија је страница \( a = 7 \text{ cm} \), страница \( b = 5 \text{ cm} \), а висина која одговара страници \( a \) износи \( h_a = 4 \text{ cm} \). Који правоугли троугао се први конструише и које су дужине његових познатих страница?
Одговор: Прво се конструише правоугли троугао \( AD'D \) (где је \( D' \) подножје нормале из темена \( D \) на страницу \( a \)). Познате странице овог правоуглог троугла су катета (висина \( h_a = 4 \text{ cm} \)) и хипотенуза (страница \( b = 5 \text{ cm} \)).
