4. Сабирање Целих Бројева

а) Попуњавање датог магичног квадрата

Магични квадрат попуњавамо тако да збир бројева у свакој врсти, свакој колони и на обе дијагонале буде једнак \( 0 \). Користићемо чињеницу да ако су два броја у линији позната, трећи број мора бити њихов супротан збир како би укупан резултат био нула. Почетна табела: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline ? & 4 & 2 \\ \hline ? & ? & ? \\ \hline -2 & ? & ? \\ \hline \end{array} \] Корак 1: Попуњавање 1. врсте Недостаје први број у првој врсти (\( a_{1,1} \)). Збир мора бити 0: \[ a_{1,1} + 4 + 2 = 0 \] \[ a_{1,1} + 6 = 0 \Rightarrow a_{1,1} = -6 \] Корак 2: Попуњавање главне дијагонале Сада имамо \( a_{1,1} = -6 \). Гледамо главну дијагоналу (\( a_{1,1}, a_{2,2}, a_{3,3} \)). Уочавамо да нам недостају два поља, па ћемо прво попунити споредну дијагоналу (\( a_{1,3}, a_{2,2}, a_{3,1} \)): \[ 2 + a_{2,2} + (-2) = 0 \] Уочавамо супротне бројеве \( \cancel{2} \) и \( -\cancel{2} \): \[ a_{2,2} = 0 \] Корак 3: Попуњавање преосталих поља Сада када знамо \( a_{2,2} = 0 \), можемо наћи \( a_{3,3} \) из главне дијагонале: \[ -6 + 0 + a_{3,3} = 0 \Rightarrow a_{3,3} = 6 \] Попуњавамо 3. врсту (\( a_{3,1}, a_{3,2}, a_{3,3} \)): \[ -2 + a_{3,2} + 6 = 0 \] \[ 4 + a_{3,2} = 0 \Rightarrow a_{3,2} = -4 \] Попуњавамо 2. колону (\( a_{1,2}, a_{2,2}, a_{3,2} \)): \[ 4 + 0 + (-4) = 0 \] Овде је збир већ \( \cancel{4} - \cancel{4} = 0 \). Попуњавамо 3. колону (\( a_{1,3}, a_{2,3}, a_{3,3} \)): \[ 2 + a_{2,3} + 6 = 0 \] \[ 8 + a_{2,3} = 0 \Rightarrow a_{2,3} = -8 \] Попуњавамо 1. колону (\( a_{1,1}, a_{2,1}, a_{3,1} \)): \[ -6 + a_{2,1} + (-2) = 0 \] \[ -8 + a_{2,1} = 0 \Rightarrow a_{2,1} = 8 \] Коначна табела за део а): \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline -6 & 4 & 2 \\ \hline 8 & 0 & -8 \\ \hline -2 & -4 & 6 \\ \hline \end{array} \]

б) Попуњавање магичног квадрата бројевима од -4 до 4

Да бисмо попунили магични квадрат бројевима \( \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \), израчунавамо карактеристични збир. Збир свих ових бројева је: \[ (-4 + 4) + (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1 + 1) + 0 = 0 \] Пошто има 3 врсте, збир сваке врсте мора бити \( 0 : 3 = 0 \). Средишње поље квадрата код оваквог низа је увек средњи број низа, што је овде \( 0 \). Један од начина да се ово постигне јесте да поставимо парне бројеве у углове, а непарне у средине ивица: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline -3 & 2 & 1 \\ \hline 4 & 0 & -4 \\ \hline -1 & -2 & 3 \\ \hline \end{array} \] Провера (нпр. 1. врста): \( -3 + 2 + 1 = -1 + 1 = 0 \). Сви збирови су 0.

а) \[ a_{1,1} = -6, a_{2,2} = 0, a_{3,3} = 6, a_{3,2} = -4, a_{2,3} = -8, a_{2,1} = 8 \] \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline -6 & 4 & 2 \\ \hline 8 & 0 & -8 \\ \hline -2 & -4 & 6 \\ \hline \end{array} \] б) Карактеристични збир \( S = 0 \). \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline -3 & 2 & 1 \\ \hline 4 & 0 & -4 \\ \hline -1 & -2 & 3 \\ \hline \end{array} \]