Најважније из лекције
- Разлагање: Трапез се најчешће конструише разлагањем на помоћни троугао (са страницама \(a-b\), \(c\), \(d\)) и паралелограм.
- Једнакокраки трапез: Висине деле дужу основицу на три дела, од којих су крајњи дужине \(\frac{a-b}{2}\). Ово омогућава конструкцију преко правоуглог троугла.
- Продужавање основице: Ако су дате дијагонале, дужа основица се продужава за дужину краће основице (\(a+b\)), чиме се добија помоћни троугао чије су странице једнаке дијагоналама трапеза.
Један од основних метода за конструкцију трапеза је његово разлагање на троугао и паралелограм. Ово нам омогућава да користимо позната правила за конструкцију ових једноставнијих фигура.
Ако су дате све четири странице трапеза (основице \(a\) и \(b\), краци \(c\) и \(d\)), на дужој основици \(a\) се одвоји дуж једнака краћој основици \(b\). Тиме се добија троугао чије су странице дужине \(a-b\), \(c\) и \(d\).
Конструише се помоћни троугао чије су странице познате (\(a-b\), \(c\), \(d\)).
Теме паралелограма се добија продужавањем странице \(a-b\) за дужину \(b\).
Четврто теме трапеза се одређује у пресеку праве паралелне са основицом и кружнице чији је полупречник једнак дужини другог крака.
Правоугли трапез често можемо конструисати директно, без помоћних фигура, користећи дате праве углове.
Ако су дати основица \(AB\), угао од \(90^\circ\) код темена \(A\) и \(D\), крак \(BC\) и оштар угао код темена \(B\), конструкција тече овако:
1. Нацрта се дуж \(AB\).
2. Из темена \(A\) се конструише нормала (угао од \(90^\circ\)), а из темена \(B\) полуправа под датим оштрим углом.
3. На полуправој из \(B\) се одмери дужина крака \(BC\) да би се добило теме \(C\).
4. Из темена \(C\) се конструише паралела са \(AB\) која сече нормалу из \(A\) у темену \(D\).
1. Нацрта се дуж \(AB\).
2. Из темена \(A\) се конструише нормала (угао од \(90^\circ\)), а из темена \(B\) полуправа под датим оштрим углом.
3. На полуправој из \(B\) се одмери дужина крака \(BC\) да би се добило теме \(C\).
4. Из темена \(C\) се конструише паралела са \(AB\) која сече нормалу из \(A\) у темену \(D\).
Висина трапеза (\(h\)) је дуж чији крајеви припадају правама које садрже основице трапеза и која је нормална на ове праве.
Код једнакокраког трапеза, нормале (висине) спуштене из темена краће основице деле дужу основицу на три дела:
средњи део једнак је краћој основици (\(b\)), а два крајња дела су једнака половини разлике основица:
\[ \frac{a - b}{2} \]
При конструкцији једнакокраког трапеза када су дате основице \(a\) и \(b\) и висина \(h\), прво се конструише правоугли троугао чије су катете \(h\) и \(\frac{a - b}{2}\).
Када су код трапеза познате дијагонале, често се користи метод допуњавања трапеза до троугла продужавањем дуже основице.
Ако се дужа основица \(AB = a\) продужи преко темена \(B\) за дужину краће основице \(CD = b\), добија се тачка \(E\). Троугао \(AEC\) има основицу \(a+b\), а друге две странице су му једнаке дијагоналама трапеза (јер паралелограм \(BECD\) има наспрамне странице једнаке).
Код једнакокраког трапеза дијагонале су једнаке (\(AC = BD\)). Троугао \(AEC\) који се добије овим продужавањем биће једнакокраки, са основицом \(a+b\) и крацима који су једнаки дијагонали трапеза. Након конструкције тог троугла, лако се одређују преостала темена трапеза.
Задаци за вежбање
Лак:
Дат је једнакокраки трапез чија је дужа основица \(a = 10 \text{ cm}\), а краћа основица \(b = 4 \text{ cm}\). Ако спустимо висине из темена краће основице, колика ће бити дужина одсечака на дуже основици који се налазе између темена дуже основице и подножја висине?
Користимо правило за једнакокраки трапез. Дужина тог одсечка је половина разлике основица:
\[ \frac{a - b}{2} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \]
Одговор: Дужина одсечка је \(3 \text{ cm}\).
Средњи:
Потребно је конструисати трапез чије су основице \(a = 8 \text{ cm}\), \(b = 3 \text{ cm}\), а краци \(c = 4 \text{ cm}\) и \(d = 6 \text{ cm}\) коришћењем методе разлагања на троугао и паралелограм. Колике ће бити дужине страница помоћног троугла који прво треба конструисати?
Помоћни троугао се добија одвајањем паралелограма од трапеза. Странице тог троугла су краци трапеза и разлика основица.
Прва страница: \(a - b = 8 - 3 = 5 \text{ cm}\)
Друга страница: \(c = 4 \text{ cm}\)
Трећа страница: \(d = 6 \text{ cm}\)
Одговор: Странице помоћног троугла су \(5 \text{ cm}\), \(4 \text{ cm}\) и \(6 \text{ cm}\).
Прва страница: \(a - b = 8 - 3 = 5 \text{ cm}\)
Друга страница: \(c = 4 \text{ cm}\)
Трећа страница: \(d = 6 \text{ cm}\)
Одговор: Странице помоћног троугла су \(5 \text{ cm}\), \(4 \text{ cm}\) и \(6 \text{ cm}\).
Тежак:
Опиши кораке конструкције правоуглог трапеза \(ABCD\) (прави углови код темена \(A\) и \(D\)) ако је позната дужа основица \(AB = 7 \text{ cm}\), краћа основица \(CD = 4 \text{ cm}\) и угао код темена \(B\) који износи \(45^\circ\).
Кораци конструкције:
- Конструишемо дуж \(AB = 7 \text{ cm}\).
- У темену \(A\) конструишемо нормалу на \(AB\) (пошто је угао прав).
- У темену \(B\) конструишемо угао од \(45^\circ\) према унутрашњости трапеза, чиме добијамо полуправу.
- На нормали из темена \(A\) за сада не знамо где је \(D\), али знамо да је \(CD = 4 \text{ cm}\) и да је \(CD \parallel AB\). Зато на дужи \(AB\) одмеримо тачку \(E\) тако да је \(AE = CD = 4 \text{ cm}\).
- У тачки \(E\) подигнемо нормалу на \(AB\). Пресек те нормале и полуправе из темена \(B\) даје теме \(C\).
- Из темена \(C\) конструишемо праву паралелну са \(AB\). Њен пресек са нормалом из темена \(A\) је теме \(D\).
