Најважније из лекције
- Основне формуле: Површина правоугаоника је \( P = a \cdot b \), а површина квадрата је \( P = a^2 \).
- Мерне јединице: Пази на претварање! \( 1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2 \), \( 1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2 \), \( 1 \text{ ha} = 10\,000 \text{ m}^2 \). Дужине страница морају бити у истој јединици пре множења.
- Сложене фигуре: Укупну површину рачунаш тако што фигуру поделиш на мање познате делове и сабереш њихове површине, или допуниш фигуру до већег правоугаоника па одузмеш вишак.
Мерење површине подразумева избор јединице мере, а за њу се бира квадрат.
Стандардна јединица за површину је квадратни метар (\( \text{m}^2 \)), што представља површину квадрата чија је страница \( 1 \text{ m} \).
Поред квадратног метра, користе се веће и мање јединице: квадратни километар, хектар, ар, квадратни дециметар, квадратни центиметар и квадратни милиметар.
| Јединица мере | Однос према другим јединицама |
|---|---|
| \( 1 \text{ cm}^2 \) | \( 100 \text{ mm}^2 \) |
| \( 1 \text{ dm}^2 \) | \( 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ mm}^2 \) |
| \( 1 \text{ m}^2 \) | \( 100 \text{ dm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2 = 1\,000\,000 \text{ mm}^2 \) |
| \( 1 \text{ a} \) (ар) | \( 100 \text{ m}^2 \) |
| \( 1 \text{ ha} \) (хектар) | \( 100 \text{ a} = 10\,000 \text{ m}^2 \) |
| \( 1 \text{ km}^2 \) | \( 100 \text{ ha} = 10\,000 \text{ a} = 1\,000\,000 \text{ m}^2 \) |
Изрази \( 2,5 \text{ ha} \) у квадратним метрима.
Знамо да је \( 1 \text{ ha} = 10\,000 \text{ m}^2 \).
\( 2,5 \cdot 10\,000 = 25\,000 \text{ m}^2 \).
\( 2,5 \cdot 10\,000 = 25\,000 \text{ m}^2 \).
Правоугаоник:
\[ P = a \cdot b \]
\( a \) и \( b \) су дужине суседних страница.
Квадрат:
\[ P = a^2 \]
\( a \) је дужина странице квадрата.
Због ове формуле, производ \( a \cdot a \) се обележава са \( a^2 \) и чита се као "квадрат броја \( a \)" (нпр. \( 12^2 = 144 \)).
Када се рачуна површина, дужине страница се увек морају претворити у исту јединицу мере (нпр. обе у \( \text{cm} \)) пре множења.
Одреди површину правоугаоника чије су странице \( 0,5 \text{ m} \) и \( 40 \text{ cm} \).
Прво сводимо на исту јединицу мере. \( 0,5 \text{ m} = 50 \text{ cm} \).
\( P = a \cdot b = 50 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm} = 2000 \text{ cm}^2 \).
(Или у метрима: \( P = 0,5 \text{ m} \cdot 0,4 \text{ m} = 0,20 \text{ m}^2 \)).
\( P = a \cdot b = 50 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm} = 2000 \text{ cm}^2 \).
(Или у метрима: \( P = 0,5 \text{ m} \cdot 0,4 \text{ m} = 0,20 \text{ m}^2 \)).
Подударност: Геометријске фигуре које се могу потпуно поклопити (подударне фигуре) имају једнаке површине.
Адитивност: Ако се фигура састоји од више делова који се не преклапају (већ спајају по граничним линијама), укупна површина једнака је збиру површина тих делова.
Сложену фигуру поделимо на мање, познате фигуре (квадрате, правоугаонике, троуглове) чије површине лако рачунамо, а затим те површине саберемо.
Сложену фигуру замишљено допунимо до веће, једноставне фигуре (најчешће правоугаоника). Израчунамо површину те велике фигуре, а затим одузмемо површине делова које смо "додали" да бисмо је добили.
Ако је фигура нацртана у координатном систему или мрежи, за јединицу мере узима се један "јединични квадрат" из мреже.
Када рачунамо површину просторије или терена на основу плана нацртаног у одређеној размери (нпр. \( 1:100 \)), површину не рачунамо директно са цртежа!
1. Измеримо дужине страница на цртежу.
2. Претворимо те дужине у стварне дужине користећи размеру (нпр. \( 1 \text{ cm} \) на цртежу \( = 1 \text{ m} \) у стварности).
3. Израчунамо површину користећи стварне димензије.
2. Претворимо те дужине у стварне дужине користећи размеру (нпр. \( 1 \text{ cm} \) на цртежу \( = 1 \text{ m} \) у стварности).
3. Израчунамо површину користећи стварне димензије.
Задаци за вежбање
Лак задатак:
Израчунај површину квадрата чија је страница дужине \( a = 1,4 \text{ m} \).
Израчунај површину квадрата чија је страница дужине \( a = 1,4 \text{ m} \).
Користимо формулу за површину квадрата: \( P = a^2 \)
\( P = 1,4 \text{ m} \cdot 1,4 \text{ m} = 1,96 \text{ m}^2 \).
\( P = 1,4 \text{ m} \cdot 1,4 \text{ m} = 1,96 \text{ m}^2 \).
Средњи задатак:
Колико пута је површина парцеле од \( 3 \text{ a} \) већа од површине стана од \( 60 \text{ m}^2 \)?
Колико пута је површина парцеле од \( 3 \text{ a} \) већа од површине стана од \( 60 \text{ m}^2 \)?
Прво све претварамо у исту јединицу мере (квадратне метре).
\( 1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2 \), па је парцела \( P = 3 \text{ a} = 300 \text{ m}^2 \).
Делимо површине да нађемо однос: \( 300 \text{ m}^2 : 60 \text{ m}^2 = 5 \).
Одговор: Површина парцеле је 5 пута већа од површине стана.
\( 1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2 \), па је парцела \( P = 3 \text{ a} = 300 \text{ m}^2 \).
Делимо површине да нађемо однос: \( 300 \text{ m}^2 : 60 \text{ m}^2 = 5 \).
Одговор: Површина парцеле је 5 пута већа од површине стана.
Тежак задатак:
Правоугаоник чије су странице \( a = 3 \text{ cm} \) и \( b = 12 \text{ cm} \) има исту површину као један квадрат. Израчунај колика је дужина странице тог квадрата.
Правоугаоник чије су странице \( a = 3 \text{ cm} \) и \( b = 12 \text{ cm} \) има исту површину као један квадрат. Израчунај колика је дужина странице тог квадрата.
Прво израчунамо површину правоугаоника:
\( P_p = a \cdot b = 3 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2 \).
Пошто су површине једнаке, површина квадрата је такође \( 36 \text{ cm}^2 \).
Формула за површину квадрата је \( P_k = c^2 \). Дакле, тражимо број који помножен самим собом даје 36.
Како је \( 6 \cdot 6 = 36 \), страница квадрата је \( c = 6 \text{ cm} \).
\( P_p = a \cdot b = 3 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2 \).
Пошто су површине једнаке, површина квадрата је такође \( 36 \text{ cm}^2 \).
Формула за површину квадрата је \( P_k = c^2 \). Дакле, тражимо број који помножен самим собом даје 36.
Како је \( 6 \cdot 6 = 36 \), страница квадрата је \( c = 6 \text{ cm} \).
