Најважније из лекције
Дељење целих бројева је обрнута операција од множења: \( c = a : b \) значи да је \( a = b \cdot c \), при чему делилац \( b \) мора бити различит од нуле (дељење нулом није могуће). Знак количника одређујемо по правилу знака — бројеви истог знака дају плус, а бројеви различитог знака дају минус (нпр. \( -64 : (-8) = 8 \), \( 18 : (-2) = -9 \)). Цео број \( b \neq 0 \) је делилац броја \( a \) ако је \( a \) дељив бројем \( b \). Посебни случајеви: \( 0 : a = 0 \), \( a : a = 1 \) и \( a : 1 = a \). У сложенијим изразима прво рачунамо заграде па онда делимо.
Дељење је обрнута операција од множења. Ако знамо један чинилац и производ, дељењем налазимо други чинилац.
Из множења читамо и одговарајуће дељење:
- \( 2 \cdot (-3) = -6 \) \(\Rightarrow\) \( (-6) : (-3) = 2 \)
- \( (-4) \cdot (-3) = 12 \) \(\Rightarrow\) \( 12 : (-3) = -4 \)
- \( 3 \cdot 8 = 24 \) \(\Rightarrow\) \( 24 : 8 = 3 \)
- \( (-5) \cdot 2 = -10 \) \(\Rightarrow\) \( (-10) : 2 = -5 \)
Цео број \( a \) дељив је целим бројем \( b \), различитим од нуле, ако постоји цео број \( c \) такав да је \( a = b \cdot c \).
Пишемо \( c = a : b \) и кажемо да је број \( c \) количник бројева \( a \) и \( b \):
\[ c = a : b \quad \Longleftrightarrow \quad a = b \cdot c \qquad (b \neq 0) \]
Дељење нулом није могуће. Делилац \( b \) увек мора бити различит од нуле.
Пример. Дељење целих бројева:
- \( 8 : 2 = 4 \), јер је \( 8 = 2 \cdot 4 \).
- \( (-10) : 5 = -2 \), јер је \( -10 = 5 \cdot (-2) \).
- \( 6 : (-3) = -2 \), јер је \( 6 = (-3) \cdot (-2) \).
- \( (-8) : (-4) = 2 \), јер је \( -8 = (-4) \cdot 2 \).
Дељење у скупу целих бројева није увек изводљиво. На пример, \( (-3) : 2 \) није изводљиво у скупу целих бројева — не постоји цео број који помножен бројем \( 2 \) даје \( -3 \).
Количник два цела броја истог знака има знак плус. Количник два цела броја различитог знака има знак минус.
| Знак дељеника | Знак делиоца | Знак количника |
|---|---|---|
| \( + \) | \( + \) | \( + \) |
| \( + \) | \( - \) | \( - \) |
| \( - \) | \( + \) | \( - \) |
| \( - \) | \( - \) | \( + \) |
Пример. Које су неједнакости тачне: \( -42 : 7 > 0 \); \( -64 : (-8) > 0 \); \( 100 : (-10) < 0 \)?
\( -42 : 7 = -6 \) (различити знаци \(\Rightarrow\) минус), па \( -6 > 0 \) није тачно.
\( -64 : (-8) = 8 \) (исти знаци \(\Rightarrow\) плус), па \( 8 > 0 \) јесте тачно.
\( 100 : (-10) = -10 \) (различити знаци \(\Rightarrow\) минус), па \( -10 < 0 \) јесте тачно.
Тачне су неједнакости \( -64 : (-8) > 0 \) и \( 100 : (-10) < 0 \).
\( -42 : 7 = -6 \) (различити знаци \(\Rightarrow\) минус), па \( -6 > 0 \) није тачно.
\( -64 : (-8) = 8 \) (исти знаци \(\Rightarrow\) плус), па \( 8 > 0 \) јесте тачно.
\( 100 : (-10) = -10 \) (различити знаци \(\Rightarrow\) минус), па \( -10 < 0 \) јесте тачно.
Тачне су неједнакости \( -64 : (-8) > 0 \) и \( 100 : (-10) < 0 \).
Цео број \( b \) (\( b \neq 0 \)) јесте делилац целог броја \( a \) ако је број \( a \) дељив бројем \( b \).
Сваки цео број различит од нуле има и позитивне и негативне делиоце. На пример, делилац може бити и негативан број.
Пример. Делилац целог броја:
- Број \( 3 \) је делилац броја \( -15 \), јер је \( (-15) : 3 = -5 \).
- Број \( -2 \) је делилац броја \( 18 \), јер је \( 18 : (-2) = -9 \).
- Број \( -4 \) је делилац броја \( -12 \), јер је \( (-12) : (-4) = 3 \).
Сви цели делиоци броја \( 6 \) су: \( -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 \). Сви цели делиоци броја \( -15 \) су: \( -15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15 \).
- Нула као дељеник: \( 0 : a = 0 \) за сваки цео број \( a \neq 0 \).
- Једнаки дељеник и делилац (различити од нуле): \( a : a = 1 \).
- Делилац је број 1: \( a : 1 = a \).
Пример.
- \( 0 : 2 = 0 \); \( 0 : (-5) = 0 \).
- \( 13 : 13 = 1 \); \( (-9) : (-9) = 1 \).
- \( 18 : 1 = 18 \); \( (-7) : 1 = -7 \); \( 0 : 1 = 0 \).
Када израз садржи заграде, прво израчунавамо оно што је у загради, па тек онда делимо. Поштујемо редослед рачунских операција.
Пример. Израчунај:
\( 18 : (-4 - 2) = 18 : (-6) = -3 \).
\( 1 + \big(4 : (-2)\big) = 1 + (-2) = -1 \).
\( 18 : (-4 - 2) = 18 : (-6) = -3 \).
\( 1 + \big(4 : (-2)\big) = 1 + (-2) = -1 \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај: а) \( 45 : (-5) \); б) \( -56 : (-8) \); в) \( -72 : 9 \).
Одредимо знак количника по правилу знака, па поделимо апсолутне вредности.
а) Различити знаци \(\Rightarrow\) минус: \( 45 : (-5) = -9 \).
б) Исти знаци \(\Rightarrow\) плус: \( -56 : (-8) = 7 \).
в) Различити знаци \(\Rightarrow\) минус: \( -72 : 9 = -8 \).
Одговор: а) \( -9 \); б) \( 7 \); в) \( -8 \).
а) Различити знаци \(\Rightarrow\) минус: \( 45 : (-5) = -9 \).
б) Исти знаци \(\Rightarrow\) плус: \( -56 : (-8) = 7 \).
в) Различити знаци \(\Rightarrow\) минус: \( -72 : 9 = -8 \).
Одговор: а) \( -9 \); б) \( 7 \); в) \( -8 \).
Средњи задатак: Који број треба да замени знак \( \heartsuit \) тако да једнакост \( 50 : \heartsuit = -10 \) буде тачна?
Тражени број је делилац. Из дефиниције дељења: \( 50 = \heartsuit \cdot (-10) \).
Тражимо цео број који помножен са \( -10 \) даје \( 50 \): то је \( -5 \), јер \( (-5) \cdot (-10) = 50 \).
Провера: \( 50 : (-5) = -10 \) (различити знаци \(\Rightarrow\) минус). Тачно.
Одговор: \( \heartsuit = -5 \).
Тражимо цео број који помножен са \( -10 \) даје \( 50 \): то је \( -5 \), јер \( (-5) \cdot (-10) = 50 \).
Провера: \( 50 : (-5) = -10 \) (различити знаци \(\Rightarrow\) минус). Тачно.
Одговор: \( \heartsuit = -5 \).
Тежак задатак: Израчунај: а) \( \big(25 : (-5)\big) + 3 \); б) \( -36 : (-4 - 2) \).
Поштујемо редослед операција — прво заграде, па дељење, па сабирање.
а) \( \big(25 : (-5)\big) + 3 = (-5) + 3 = -2 \).
б) Прво израчунамо заграду: \( -4 - 2 = -6 \). Затим делимо (исти знаци \(\Rightarrow\) плус): \( -36 : (-6) = 6 \).
Одговор: а) \( -2 \); б) \( 6 \).
а) \( \big(25 : (-5)\big) + 3 = (-5) + 3 = -2 \).
б) Прво израчунамо заграду: \( -4 - 2 = -6 \). Затим делимо (исти знаци \(\Rightarrow\) плус): \( -36 : (-6) = 6 \).
Одговор: а) \( -2 \); б) \( 6 \).
