Најважније из лекције
- Редослед операција: 1. Заграде ➔ 2. Множење и дељење ➔ 3. Сабирање и одузимање.
- Дистрибутивност: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \) нам омогућава да лакше рачунамо тако што се ослобађамо заграда или извлачимо заједнички множилац.
- Нулом се никада не дели!
- Изрази са променљивом омогућавају представљање реалних ситуација помоћу математичких формула (нпр. промена температуре током времена), а вредност се добија заменом слова конкретним бројем.
Познавање особина рачунских операција олакшава и убрзава израчунавање сложенијих бројевних израза.
Сабирање и множење имају следеће важне особине:
- Комутативност: Редослед бројева не мења резултат.
\( a + b = b + a \) и \( a \cdot b = b \cdot a \) - Асоцијативност: Здруживање бројева не мења резултат.
\( (a + b) + c = a + (b + c) \) и \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
Неутрални елементи и супротни бројеви:
- Нула је неутрални елемент за сабирање: \( a + 0 = a \)
- Јединица је неутрални елемент за множење: \( a \cdot 1 = a \)
- Збир броја и њему супротног броја је нула: \( a + (-a) = 0 \)
Дистрибутивност множења према сабирању:
Множилац се множи са сваким сабирком у загради.
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]
Множилац се множи са сваким сабирком у загради.
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]
Важна правила за одузимање и дељење:
Одузимање се своди на сабирање са супротним бројем: \( a - b = a + (-b) \).
Нулом се не дели!
Одузимање се своди на сабирање са супротним бројем: \( a - b = a + (-b) \).
Нулом се не дели!
Примени својство дистрибутивности да би на најбржи начин израчунао вредност израза: \( 14 \cdot 73 + 14 \cdot 27 \)
Коришћењем дистрибутивности у обрнутом смеру, можемо издвојити заједнички множилац испред заграде:
\( 14 \cdot 73 + 14 \cdot 27 = 14 \cdot (73 + 27) = 14 \cdot 100 = 1400 \)
\( 14 \cdot 73 + 14 \cdot 27 = 14 \cdot (73 + 27) = 14 \cdot 100 = 1400 \)
Када израз садржи више различитих рачунских операција, веома је важно поштовати приоритет (редослед) њиховог извршавања.
Заграде: Прво се израчунавају вредности израза унутар заграда.
Множење и дељење: Ове операције имају предност у односу на сабирање и одузимање.
Сабирање и одузимање: Извршавају се на крају, слева надесно.
Пример са заградама:
\( (-34 - 7) \cdot (-13 + 4) \)
Прво рачунамо унутар заграда:
\( -34 - 7 = -41 \)
\( -13 + 4 = -9 \)
Затим множимо добијене резултате:
\( -41 \cdot (-9) = 369 \)
\( (-34 - 7) \cdot (-13 + 4) \)
Прво рачунамо унутар заграда:
\( -34 - 7 = -41 \)
\( -13 + 4 = -9 \)
Затим множимо добијене резултате:
\( -41 \cdot (-9) = 369 \)
Пример без заграда (приоритет операција):
\( -34 + 7 \cdot (-13) + 4 \)
Множење има приоритет, па прво рачунамо \( 7 \cdot (-13) = -91 \):
\( -34 - 91 + 4 \)
Затим сабирамо и одузимамо слева надесно:
\( -125 + 4 = -121 \)
\( -34 + 7 \cdot (-13) + 4 \)
Множење има приоритет, па прво рачунамо \( 7 \cdot (-13) = -91 \):
\( -34 - 91 + 4 \)
Затим сабирамо и одузимамо слева надесно:
\( -125 + 4 = -121 \)
Израчунај вредност израза: \( -15 - 5 \cdot (2 - 8) \)
Прво решавамо заграду: \( 2 - 8 = -6 \)
Израз постаје: \( -15 - 5 \cdot (-6) \)
Затим множимо: \( -5 \cdot (-6) = 30 \)
На крају сабирамо: \( -15 + 30 = 15 \)
Израз постаје: \( -15 - 5 \cdot (-6) \)
Затим множимо: \( -5 \cdot (-6) = 30 \)
На крају сабирамо: \( -15 + 30 = 15 \)
Када се у математичком запису, поред бројева и знакова за операције, појаве и слова (која представљају неке непознате или променљиве вредности), добијамо израз са променљивом.
Ако је почетна температура \(3^\circ\text{C}\) и сваког дана опада за по \(2^\circ\text{C}\), можемо поставити израз за температуру било ког дана у недељи (где је \(n\) редни број дана, од 1 до 7):
\[ t = 3 + (n - 1) \cdot (-2) \]
Ако желимо да израчунамо температуру за среду (3. дан у недељи, дакле \(n = 3\)):
\[ t = 3 + (3 - 1) \cdot (-2) = 3 + 2 \cdot (-2) = 3 - 4 = -1^\circ\text{C} \]
| Дан (\(n\)) | 1 (Пон) | 2 (Уто) | 3 (Сре) |
|---|---|---|---|
| Температура (\(t\)) | \(3^\circ\text{C}\) | \(1^\circ\text{C}\) | \(-1^\circ\text{C}\) |
Дат је израз за израчунавање стања на рачуну након \(m\) месеци: \( S = -5000 + m \cdot 1200 \). Израчунај стање на рачуну након 6 месеци.
Мењамо променљиву \(m\) бројем 6:
\( S = -5000 + 6 \cdot 1200 \)
\( S = -5000 + 7200 = 2200 \)
Стање на рачуну биће \( 2200 \).
\( S = -5000 + 6 \cdot 1200 \)
\( S = -5000 + 7200 = 2200 \)
Стање на рачуну биће \( 2200 \).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Одреди производ збира бројева \(-56\) и \(-71\) и броја \(9\).
Прво записујемо израз према тексту:
\( (-56 + (-71)) \cdot 9 \)
Рачунамо вредност у загради:
\( -127 \cdot 9 = -1143 \)
\( (-56 + (-71)) \cdot 9 \)
Рачунамо вредност у загради:
\( -127 \cdot 9 = -1143 \)
Средњи ниво: Израчунај вредност израза: \( -20 + 4 \cdot (-3) - (-15 : 3) \)
Поштујемо редослед операција (прво множење и дељење):
\( -20 + (-12) - (-5) \)
Сређујемо знаке и сабирамо/одузимамо слева надесно:
\( -20 - 12 + 5 = -32 + 5 = -27 \)
\( -20 + (-12) - (-5) \)
Сређујемо знаке и сабирамо/одузимамо слева надесно:
\( -20 - 12 + 5 = -32 + 5 = -27 \)
Тежи ниво: У среду је просечна дневна температура била \(-4^\circ\text{C}\), а након тога је сваки дан те недеље расла за по \(3^\circ\text{C}\). Постави израз са променљивом \(n\) (где је \(n\) број дана након среде) и израчунај колика је температура била у недељу.
Израз за температуру након \(n\) дана је:
\( t = -4 + n \cdot 3 \)
Од среде до недеље прође 4 дана (четвртак, петак, субота, недеља), па је \( n = 4 \).
Мењамо вредност у израз:
\( t = -4 + 4 \cdot 3 = -4 + 12 = 8^\circ\text{C} \)
\( t = -4 + n \cdot 3 \)
Од среде до недеље прође 4 дана (четвртак, петак, субота, недеља), па је \( n = 4 \).
Мењамо вредност у израз:
\( t = -4 + 4 \cdot 3 = -4 + 12 = 8^\circ\text{C} \)
