Најважније из лекције
Скуп реалних бројева (\( R \)): Настаје спајањем скупа рационалних (\( Q \)) и ирационалних (\( I \)) бројева. (\( R = Q \cup I \)).
Ирационални бројеви: Не могу се записати као разломци (\( \frac{a}{b} \)). Типичан пример је мерни број дужине дијагонале квадрата чија је страница 1.
Бројевна права: Потпуно је испуњена реалним бројевима. Свака тачка представља један реалан број, и сваки реалан број има своје тачно место на правој.
Апсолутна вредност (\( |a| \)): Представља растојање тачке од нуле на бројевној правој и увек је позитиван број или нула (нпр. \( |-5| = 5 \), \( |3| = 3 \)).
Ирационални бројеви: Не могу се записати као разломци (\( \frac{a}{b} \)). Типичан пример је мерни број дужине дијагонале квадрата чија је страница 1.
Бројевна права: Потпуно је испуњена реалним бројевима. Свака тачка представља један реалан број, и сваки реалан број има своје тачно место на правој.
Апсолутна вредност (\( |a| \)): Представља растојање тачке од нуле на бројевној правој и увек је позитиван број или нула (нпр. \( |-5| = 5 \), \( |3| = 3 \)).
Ирационалан број је реалан број који се не може записати у облику разломка \( \frac{a}{b} \), где су \( a \) и \( b \) цели бројеви и \( b \neq 0 \). Ови бројеви се не могу приказати помоћу рационалних бројева.
Скуп ирационалних бројева обележава се великим латиничним словом \( I \).
Пример ирационалног броја је дужина дијагонале квадрата чија је страница једнака 1. Ако ту дужину обележимо са \( d \), према Питагориној теореми важи \( d^2 = 1^2 + 1^2 \), односно \( d^2 = 2 \). Ова једначина нема решење у скупу рационалних бројева, па је њен резултат ирационалан број.
Да ли се број \( -4,5 \) може сматрати ирационалним бројем?
Одговор: Не. Број \( -4,5 \) се може записати у облику разломка као \( -\frac{9}{2} \), што значи да је он рационалан број, а не ирационалан.
Скуп реалних бројева обележава се словом \( R \).
Скуп реалних бројева чине сви рационални и сви ирационални бројеви заједно.
То значи да је скуп реалних бројева унија скупа рационалних (\( Q \)) и скупа ирационалних (\( I \)) бројева:
\[ R = Q \cup I \]
Пресек скупа рационалних и скупа ирационалних бројева је празан скуп (\( Q \cap I = \emptyset \)). То значи да ниједан број не може истовремено бити и рационалан и ирационалан.
Позитивни реални бројеви су на пример: \( 1 \), \( \frac{2}{3} \), \( 3,8 \) и дијагонала квадрата странице 1.
Негативни реални бројеви су њима супротни бројеви: \( -1 \), \( -\frac{2}{3} \), \( -3,8 \)... Број \( 0 \) је такође реалан број, али није ни позитиван ни негативан.
Ако за неки број важи да припада скупу \( R \), али не припада скупу \( Q \), ком скупу онда он сигурно припада?
Одговор: Тај број сигурно припада скупу ирационалних бројева (\( I \)), јер се скуп реалних бројева састоји искључиво од рационалних и ирационалних бројева.
Сваком реалном броју одговара тачно једна тачка бројевне праве, и свакој тачки бројевне праве одговара тачно један реалан број.
Увођењем ирационалних бројева, бројевна права постаје потпуно „попуњена”. Више нема празних места која су постојала када смо посматрали само рационалне бројеве.
Да ли се двема различитим тачкама на бројевној правој може придружити исти ирационалан број?
Одговор: Не. Свакој тачки одговара искључиво један јединствен реалан (па тако и ирационалан) број. Различитим бројевима одговарају различите тачке.
Ако реалном броју \( a \) на бројевној правој одговара тачка \( A \), број \( a \) се назива координата тачке \( A \) и записује се као \( A(a) \).
Апсолутна вредност реалног броја \( a \) (ознака \( |a| \)) представља растојање тачке која је придружена том броју од координатног почетка на бројевној правој.
За сваки реалан број \( a \) важи:
\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{ако је } a > 0 \\ 0, & \text{ако је } a = 0 \\ -a, & \text{ако је } a < 0 \end{cases} \]
Ако је \( a = -3,8 \), његова апсолутна вредност је \( |-3,8| = -(-3,8) = 3,8 \).
Растојање не може бити негативно!
Израчунај вредност израза: \( |-\frac{3}{4}| + |0| \).
Одговор: \( |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} \), а \( |0| = 0 \). Њихов збир је \( \frac{3}{4} + 0 = \frac{3}{4} \).
Задаци за вежбање
Лак: Дат је скуп бројева: \( \{-5; \ 0; \ \frac{1}{2}; \ 3,14 \} \). Који од ових бројева припадају скупу реалних бројева (\( R \))?
Сви наведени бројеви припадају скупу реалних бројева, јер су сви они рационални бројеви, а скуп рационалних бројева је подскуп скупа реалних бројева.
Средњи: Посматрајмо једначине \( x^2 = 16 \) и \( y^2 = 2 \). За коју од ових једначина решења припадају скупу рационалних (\( Q \)), а за коју скупу ирационалних (\( I \)) бројева?
За једначину \( x^2 = 16 \), решења су \( x = 4 \) или \( x = -4 \). Ово су цели (самим тим и рационални) бројеви, па припадају скупу \( Q \).
За једначину \( y^2 = 2 \), не постоји рационалан број који помножен самим собом даје 2. Њена решења су ирационални бројеви, па припадају скупу \( I \).
За једначину \( y^2 = 2 \), не постоји рационалан број који помножен самим собом даје 2. Њена решења су ирационални бројеви, па припадају скупу \( I \).
Тежак: Нека је број \( m \) решење једначине \( d^2 = 2 \) (дужина дијагонале квадрата странице 1). Да ли је израз \( |m| - |-m| \) позитиван, негативан или једнак нули? Образложи одговор.
Број \( m \) је позитиван ирационалан број.
Његова апсолутна вредност је \( |m| = m \).
Апсолутна вредност њему супротног броја је \( |-m| = m \).
Према томе, вредност израза је \( m - m = 0 \).
Одговор: Израз је једнак нули.
Одговор: Израз је једнак нули.
