Корице уџбеника

I.3. Скуп Реалних Бројева И Бројевна Права

Решења + Понављање
Лекција
Тест

Изабери решење задатка:

Задатак 9

Кратко решење

а)
\[ -2,6 \lt -1,3 \lt 0,2 \lt 1,3 \]\[ |-2,6| = 2,6, \quad |1,3| = 1,3, \quad |-1,3| = 1,3, \quad |0,2| = 0,2 \]\[ 0,2 \lt 1,3 = 1,3 \lt 2,6 \]
б)
\[ \frac{2}{3} = \frac{16}{24}, \quad -\frac{5}{6} = -\frac{20}{24}, \quad \frac{1}{2} = \frac{12}{24}, \quad -\frac{7}{8} = -\frac{21}{24} \]\[ -\frac{21}{24} \lt -\frac{20}{24} \lt \frac{12}{24} \lt \frac{16}{24} \Rightarrow -\frac{7}{8} \lt -\frac{5}{6} \lt \frac{1}{2} \lt \frac{2}{3} \]\[ \left|\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}, \quad \left|-\frac{5}{6}\right| = \frac{5}{6}, \quad \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}, \quad \left|-\frac{7}{8}\right| = \frac{7}{8} \]\[ \frac{12}{24} \lt \frac{16}{24} \lt \frac{20}{24} \lt \frac{21}{24} \Rightarrow \frac{1}{2} \lt \frac{2}{3} \lt \frac{5}{6} \lt \frac{7}{8} \]
в)
\[ -\frac{2}{3} = -0,(6), \quad \frac{3}{4} = 0,75, \quad -\frac{10}{11} = -0,(90), \quad \frac{8}{5} = 1,6 \]\[ -1,6 \lt -0,97 \lt -0,9090\ldots \lt -0,666\ldots \lt 0,75 \lt 0,97 \lt 1,6 \]\[ -1,6 \lt -0,97 \lt -\frac{10}{11} \lt -\frac{2}{3} \lt \frac{3}{4} \lt 0,97 \lt \frac{8}{5} \]\[ |-1,6| = 1,6, \quad \left|-\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}, \quad |0,97| = 0,97, \quad \left|\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4} \]\[ \left|-\frac{10}{11}\right| = \frac{10}{11}, \quad \left|\frac{8}{5}\right| = \frac{8}{5}, \quad |-0,97| = 0,97 \]\[ \frac{2}{3} \lt \frac{3}{4} \lt \frac{10}{11} \lt 0,97 = 0,97 \lt 1,6 = \frac{8}{5} \]

Детаљно решење

Правила која користимо

Сваки негативан број је мањи од сваког позитивног. Од два негативна броја мањи је онај чија је апсолутна вредност већа (даљи је од нуле). Апсолутна вредност позитивног броја је сам тај број, а апсолутна вредност негативног броја је њему супротан број. Бројеве записане у различитим облицима пре упоређивања записујемо у истом облику (сви као разломци са истим имениоцем или сви као децимални бројеви).

а) \( -2,6 \), \( 1,3 \), \( -1,3 \), \( 0,2 \)

Корак 1: Поредак датих бројева

Негативни бројеви су \( -2,6 \) и \( -1,3 \). Како је \( 2,6 \gt 1,3 \), важи \( -2,6 \lt -1,3 \). Позитивни бројеви су \( 0,2 \) и \( 1,3 \), а \( 0,2 \lt 1,3 \). Зато је: \[ -2,6 \lt -1,3 \lt 0,2 \lt 1,3 \]

Корак 2: Апсолутне вредности и њихов поредак

\[ |-2,6| = 2,6, \quad |1,3| = 1,3, \quad |-1,3| = 1,3, \quad |0,2| = 0,2 \] Супротни бројеви \( 1,3 \) и \( -1,3 \) имају једнаке апсолутне вредности. Поредак апсолутних вредности је: \[ 0,2 \lt 1,3 = 1,3 \lt 2,6 \]

б) \( \frac{2}{3} \), \( -\frac{5}{6} \), \( \frac{1}{2} \), \( -\frac{7}{8} \)

Корак 3: Свођење на заједнички именилац

Најмањи заједнички садржалац имениоца 3, 6, 2 и 8 је 24, па проширујемо разломке: \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}, \quad -\frac{5}{6} = -\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = -\frac{20}{24} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24}, \quad -\frac{7}{8} = -\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = -\frac{21}{24} \]

Корак 4: Поредак датих бројева

Од негативних бројева мањи је \( -\frac{21}{24} \), јер је \( 21 \gt 20 \). Од позитивних бројева мањи је \( \frac{12}{24} \), јер је \( 12 \lt 16 \): \[ -\frac{21}{24} \lt -\frac{20}{24} \lt \frac{12}{24} \lt \frac{16}{24} \] \[ -\frac{7}{8} \lt -\frac{5}{6} \lt \frac{1}{2} \lt \frac{2}{3} \]

Корак 5: Апсолутне вредности и њихов поредак

\[ \left|\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}, \quad \left|-\frac{5}{6}\right| = \frac{5}{6}, \quad \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}, \quad \left|-\frac{7}{8}\right| = \frac{7}{8} \] Упоређујемо бројиоце разломака са имениоцем 24: \( 12 \lt 16 \lt 20 \lt 21 \), па је: \[ \frac{1}{2} \lt \frac{2}{3} \lt \frac{5}{6} \lt \frac{7}{8} \]

в) \( -1,6 \), \( -\frac{2}{3} \), \( 0,97 \), \( \frac{3}{4} \), \( -\frac{10}{11} \), \( \frac{8}{5} \), \( -0,97 \)

Корак 6: Запис свих бројева у децималном облику

Разломке претварамо у децималне бројеве дељењем бројиоца имениоцем: \[ -\frac{2}{3} = -0,666\ldots = -0,(6), \quad \frac{3}{4} = 0,75 \] \[ -\frac{10}{11} = -0,9090\ldots = -0,(90), \quad \frac{8}{5} = 1,6 \]

Корак 7: Поредак датих бројева

Негативни бројеви су \( -1,6 \), \( -0,666\ldots \), \( -0,9090\ldots \) и \( -0,97 \). Њихове апсолутне вредности су \( 1,6 \gt 0,97 \gt 0,9090\ldots \gt 0,666\ldots \), па је међу њима најмањи \( -1,6 \), а највећи \( -0,666\ldots \). Позитивни бројеви су \( 0,75 \lt 0,97 \lt 1,6 \). Зато је: \[ -1,6 \lt -0,97 \lt -0,9090\ldots \lt -0,666\ldots \lt 0,75 \lt 0,97 \lt 1,6 \] \[ -1,6 \lt -0,97 \lt -\frac{10}{11} \lt -\frac{2}{3} \lt \frac{3}{4} \lt 0,97 \lt \frac{8}{5} \]

Корак 8: Апсолутне вредности и њихов поредак

\[ |-1,6| = 1,6, \quad \left|-\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}, \quad |0,97| = 0,97, \quad \left|\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4} \] \[ \left|-\frac{10}{11}\right| = \frac{10}{11}, \quad \left|\frac{8}{5}\right| = \frac{8}{5}, \quad |-0,97| = 0,97 \] Како је \( 0,666\ldots \lt 0,75 \lt 0,9090\ldots \lt 0,97 \lt 1,6 \), а \( \frac{8}{5} = 1,6 \), добијамо: \[ \frac{2}{3} \lt \frac{3}{4} \lt \frac{10}{11} \lt 0,97 = 0,97 \lt 1,6 = \frac{8}{5} \]

Кратак запис решења:

а)

\[ -2,6 \lt -1,3 \lt 0,2 \lt 1,3 \] \[ 0,2 \lt 1,3 = 1,3 \lt 2,6 \]

б)

\[ -\frac{21}{24} \lt -\frac{20}{24} \lt \frac{12}{24} \lt \frac{16}{24} \Rightarrow -\frac{7}{8} \lt -\frac{5}{6} \lt \frac{1}{2} \lt \frac{2}{3} \] \[ \frac{1}{2} \lt \frac{2}{3} \lt \frac{5}{6} \lt \frac{7}{8} \]

в)

\[ -1,6 \lt -0,97 \lt -\frac{10}{11} \lt -\frac{2}{3} \lt \frac{3}{4} \lt 0,97 \lt \frac{8}{5} \] \[ \frac{2}{3} \lt \frac{3}{4} \lt \frac{10}{11} \lt 0,97 = 0,97 \lt 1,6 = \frac{8}{5} \]

Најважније из лекције

Скуп реалних бројева (\( R \)): Настаје спајањем скупа рационалних (\( Q \)) и ирационалних (\( I \)) бројева. (\( R = Q \cup I \)).
Ирационални бројеви: Не могу се записати као разломци (\( \frac{a}{b} \)). Типичан пример је мерни број дужине дијагонале квадрата чија је страница 1.
Бројевна права: Потпуно је испуњена реалним бројевима. Свака тачка представља један реалан број, и сваки реалан број има своје тачно место на правој.
Апсолутна вредност (\( |a| \)): Представља растојање тачке од нуле на бројевној правој и увек је позитиван број или нула (нпр. \( |-5| = 5 \), \( |3| = 3 \)).
Ирационалан број је реалан број који се не може записати у облику разломка \( \frac{a}{b} \), где су \( a \) и \( b \) цели бројеви и \( b \neq 0 \). Ови бројеви се не могу приказати помоћу рационалних бројева.
Скуп ирационалних бројева обележава се великим латиничним словом \( I \).
Пример ирационалног броја је дужина дијагонале квадрата чија је страница једнака 1. Ако ту дужину обележимо са \( d \), према Питагориној теореми важи \( d^2 = 1^2 + 1^2 \), односно \( d^2 = 2 \). Ова једначина нема решење у скупу рационалних бројева, па је њен резултат ирационалан број.
Да ли се број \( -4,5 \) може сматрати ирационалним бројем?
Одговор: Не. Број \( -4,5 \) се може записати у облику разломка као \( -\frac{9}{2} \), што значи да је он рационалан број, а не ирационалан.
Скуп реалних бројева обележава се словом \( R \).
Скуп реалних бројева чине сви рационални и сви ирационални бројеви заједно. То значи да је скуп реалних бројева унија скупа рационалних (\( Q \)) и скупа ирационалних (\( I \)) бројева: \[ R = Q \cup I \]
Пресек скупа рационалних и скупа ирационалних бројева је празан скуп (\( Q \cap I = \emptyset \)). То значи да ниједан број не може истовремено бити и рационалан и ирационалан.
Позитивни реални бројеви су на пример: \( 1 \), \( \frac{2}{3} \), \( 3,8 \) и дијагонала квадрата странице 1. Негативни реални бројеви су њима супротни бројеви: \( -1 \), \( -\frac{2}{3} \), \( -3,8 \)... Број \( 0 \) је такође реалан број, али није ни позитиван ни негативан.
Ако за неки број важи да припада скупу \( R \), али не припада скупу \( Q \), ком скупу онда он сигурно припада?
Одговор: Тај број сигурно припада скупу ирационалних бројева (\( I \)), јер се скуп реалних бројева састоји искључиво од рационалних и ирационалних бројева.
Сваком реалном броју одговара тачно једна тачка бројевне праве, и свакој тачки бројевне праве одговара тачно један реалан број.
Увођењем ирационалних бројева, бројевна права постаје потпуно „попуњена”. Више нема празних места која су постојала када смо посматрали само рационалне бројеве.
Илустрација бројевне праве са координатним почетком O(0) и јединичном дужи OI(1). Над дужи OI је нацртан квадрат. Из темена O конструише се кружни лук чији је полупречник једнак дијагонали тог квадрата. Пресек кружног лука и бројевне праве са десне стране даје тачку D (позитиван ирационалан број), а са леве стране тачку E (негативан ирационалан број).
Да ли се двема различитим тачкама на бројевној правој може придружити исти ирационалан број?
Одговор: Не. Свакој тачки одговара искључиво један јединствен реалан (па тако и ирационалан) број. Различитим бројевима одговарају различите тачке.
Ако реалном броју \( a \) на бројевној правој одговара тачка \( A \), број \( a \) се назива координата тачке \( A \) и записује се као \( A(a) \).
Апсолутна вредност реалног броја \( a \) (ознака \( |a| \)) представља растојање тачке која је придружена том броју од координатног почетка на бројевној правој.
За сваки реалан број \( a \) важи: \[ |a| = \begin{cases} a, & \text{ако је } a > 0 \\ 0, & \text{ако је } a = 0 \\ -a, & \text{ако је } a < 0 \end{cases} \]
Ако је \( a = -3,8 \), његова апсолутна вредност је \( |-3,8| = -(-3,8) = 3,8 \). Растојање не може бити негативно!
Израчунај вредност израза: \( |-\frac{3}{4}| + |0| \).
Одговор: \( |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} \), а \( |0| = 0 \). Њихов збир је \( \frac{3}{4} + 0 = \frac{3}{4} \).

Задаци за вежбање

Лак: Дат је скуп бројева: \( \{-5; \ 0; \ \frac{1}{2}; \ 3,14 \} \). Који од ових бројева припадају скупу реалних бројева (\( R \))?
Сви наведени бројеви припадају скупу реалних бројева, јер су сви они рационални бројеви, а скуп рационалних бројева је подскуп скупа реалних бројева.
Средњи: Посматрајмо једначине \( x^2 = 16 \) и \( y^2 = 2 \). За коју од ових једначина решења припадају скупу рационалних (\( Q \)), а за коју скупу ирационалних (\( I \)) бројева?
За једначину \( x^2 = 16 \), решења су \( x = 4 \) или \( x = -4 \). Ово су цели (самим тим и рационални) бројеви, па припадају скупу \( Q \).
За једначину \( y^2 = 2 \), не постоји рационалан број који помножен самим собом даје 2. Њена решења су ирационални бројеви, па припадају скупу \( I \).
Тежак: Нека је број \( m \) решење једначине \( d^2 = 2 \) (дужина дијагонале квадрата странице 1). Да ли је израз \( |m| - |-m| \) позитиван, негативан или једнак нули? Образложи одговор.
Број \( m \) је позитиван ирационалан број. Његова апсолутна вредност је \( |m| = m \). Апсолутна вредност њему супротног броја је \( |-m| = m \). Према томе, вредност израза је \( m - m = 0 \).
Одговор: Израз је једнак нули.

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

22801 решења

914 лекција и тестова

Иконка Математика

Физика

4688 решења

966 лекција и тестова

Иконка Физика

Хемија

4724 решења

560 лекција и тестова

Иконка Химия

Историја

2365 одговора на питања

359 резимеа и тестова

Иконка История

Биологија

1329 одговора | 176 лекција

Иконка Биология
5. разред
6. разред
8. разред

Географија

4379 одговора на питања

492 лекција

Иконка География
5. разред
6. разред
7. разред
8. разред
1. година
2. година
3. година

PhotoSolveAI

Решавање задатака са слике

Иконка Литература

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста
Сазнај више