Скуп Реалних Бројева И Бројевна Права

Question 1

Поступајући као у примеру 2, одреди прве три децимале дужине странице квадрата чија је површина једнака 5.

Accepted Answer

Шта је дато
Квадрат има површину $ P = 5 $. Ако је $ a $ дужина његове странице, из обрасца за површину квадрата $ P = a^2 $ добијамо $ a^2 = 5 $. Као у примеру 2, дужину $ a $ одређујемо корак по корак, сужавајући интервал помоћу квадрата.

Цео део броја $ a $
Како је $ 2^2 = 4 $ и $ 3^2 = 9 $, а број 5 је између 4 и 9, закључујемо да је $ 2 \lt a \lt 3 $. Дакле, цео део је 2.

Цифра десетих
Квадрирамо бројеве са једном децималом:
$ 2,0^2 = 4 $; $ 2,1^2 = 4,41 $; \( 2,2^2...

Question 2

Речима опиши неколико бесконачних непериодичних децималних записа и напиши неколико првих децимала описаног броја.

Accepted Answer

Шта се тражи
Треба речима описати правило по коме се нижу децимале, тако да добијени децимални запис буде бесконачан и непериодичан, па исписати неколико првих децимала таквог броја. Такви бројеви су ирационални.

Први пример
Опис. Иза зареза редом исписујемо све природне бројеве: 1, 2, 3, 4, 5, …
$$ 0,123456789101112131415161718192021\ldots $$
Зашто није периодичан. У запису се појављују групе од све више узастопних нула (у бројевима 100, 1000, 10000, …), а групе нула произвољне дужине не могу...

Question 3

На основу датог приказа бројевне праве заокругли реалне бројеве $ x $, $ y $ и $ z $ на две децимале и одреди границу апсолутне грешке при том заокругљивању.

Accepted Answer

Читање са бројевне праве
На слици је бројевна права подељена на стоте делове: суседни подеоци су $ -0,05 $, $ -0,04 $, $ -0,03 $, …, $ 0,09 $, а растојање између два суседна подеока је $ 0,01 $. Заокругљивање на две децимале значи да сваком од бројева $ x $, $ y $, $ z $ придружујемо њему најближи приказани подеок.

Број $ x $
Тачка $ x $ налази се непосредно десно од подеока $ -0,04 $, много ближе њему него подеоку $ -0,03 $. Најближи подеок је $ -0,04 $, па је
\[ x \a...

Question 4

Нека је $ d $ мерни број дијагонале јединичног квадрата: $ d = 1,414213562373095048801688724209\ldots $ Број $ d $ заокругли: а) на две децимале; б) на три децимале; в) тако да граница апсолутне грешке буде $ 0,0001 $.

Accepted Answer

Шта је дато
$$ d = 1,414213562373095048801688724209\ldots $$
Заокругљујемо по правилима заокругљивања: гледамо прву цифру коју одбацујемо. Ако је она мања од 5, последњу задржану цифру не мењамо; ако је већа од 5, увећавамо је за 1; ако је тачно 5 и иза ње нема других цифара, примењујемо правило парне цифре (страна 23).

а) На две децимале
Задржавамо цифре десетих и стотих: $ 1,41 $. Прва одбачена цифра је цифра хиљадитих, а то је 4. Како је 4 мање од 5, цифру стотих не мењамо:
\[ d \approx 1,...

Question 5

Дато је неколико првих децимала следећих бројева (уместо три тачке може да стоји произвољно много било којих цифара које нису све 0). Упореди бројеве: а) $ -2,112\ldots $ и $ -1,998\ldots $; б) $ 0,587\ldots $ и $ -0,588\ldots $; в) $ 3,756\ldots $ и $ 3,749\ldots $; г) $ -6,34\ldots $...

Accepted Answer

Правила поређења
Сваки позитиван број већи је од сваког негативног, а нула је између њих. Два позитивна броја поредимо тако што упоређујемо њихове децималне записе с лева на десно (цео део, па десете, па стоте …). Од два негативна броја већи је онај који је ближи нули, тј. онај чија је апсолутна вредност мања. Три тачке значе да иза наведених цифара долази још цифара које нису све нуле, па је прикази број строго већи од броја који се добије када се тачке замене нулама.

а) $ -2,112\ldots $ и \...

Question 6

На бројевној правој представи интервал: а) $ (2, 3) $; б) $ \left[-1, \frac{1}{2}\right) $; в) $ [-2, 2] $; г) $ [-4, -1,25) $; д) $ [1, +\infty) $; ђ) $ (-\infty, 1) $.

Accepted Answer

Како цртамо интервал
Крајеве интервала обележавамо на бројевној правој и подебљамо (шрафирамо) део праве између њих. Крај који припада интервалу (угласта заграда) цртамо пуним кружићем, а крај који не припада интервалу (обла заграда) празним кружићем. Код неограничених интервала подебљани део се наставља у смеру стрелице.

а) $ (2, 3) $
$ (2, 3) = \{ x \in R \mid 2 \lt x \lt 3 \} $. Обележимо тачке 2 и 3 празним кружићима и подебљамо део праве између њих. Крајеви не припадају скупу.

б) \( \...

Question 7

На бројевној правој представи скуп реалних бројева $ x $ таквих да важи: а) $ x \gt 3 $; б) $ x \gt 5 $ и $ x \lt 7 $; в) $ x \ge -2,1 $ и $ x \lt 1 $; г) $ x \ge -5 $ и $ x \le -2,5 $.

Accepted Answer

Идеја
Сваки од задатих услова описује неки интервал. Када су дата два услова повезана речју „и“, тражимо бројеве који испуњавају оба услова, дакле пресек одговарајућих интервала.

а) $ x \gt 3 $
Тражимо све бројеве који су на бројевној правој десно од 3, при чему сама 3 не припада скупу. Тачку 3 цртамо празним кружићем и подебљамо полуправу десно од ње.
$$ \{ x \in R \mid x \gt 3 \} = (3, +\infty) $$

б) $ x \gt 5 $ и $ x \lt 7 $
Први услов даје полуправу десно од 5, други полуправу лево о...

Question 8

Користећи бројевну праву, као у претходном примеру, представи скуп: а) $ (-\infty, 2) \cap (-2, +\infty) $; б) $ (-3, 6) \cap \left[-5, 3\frac{1}{2}\right] $; в) $ [-1, 1] \cup [0, 2] $; г) $ [-4, 2) \cup (-1, 3] $.

Accepted Answer

Идеја
Као у примеру 5, оба интервала прикажемо један испод другог на истој бројевној правој. За пресек узимамо део који је шрафиран у оба реда, а за унију део који је шрафиран бар у једном реду. Тип краја (пун или празан кружић) одређујемо по томе да ли тај број припада добијеном скупу.

а) $ (-\infty, 2) \cap (-2, +\infty) $
Први интервал је цела полуправа лево од 2 (2 не припада), други цела полуправа десно од $ -2 $ ($ -2 $ не припада). Заједнички део су бројеви између $ -2 $ и 2, без...

Question 9

Дате бројеве поређај у растућем поретку, одреди њихове апсолутне вредности, па и њих поређај у растућем поретку: а) $ -2,6 $, $ 1,3 $, $ -1,3 $, $ 0,2 $; б) $ \frac{2}{3} $, $ -\frac{5}{6} $, $ \frac{1}{2} $, $ -\frac{7}{8} $; в) $ -1,6 $, $ -\frac{2}{3} $, $ 0,97 $, \( \frac{3...

Accepted Answer

Како поредимо
Бројеве поређамо по положају на бројевној правој — слева надесно бројеви расту. Апсолутна вредност броја једнака је растојању одговарајуће тачке од нуле: $ |a| = a $ за $ a \gt 0 $, $ |0| = 0 $, $ |a| = -a $ за $ a \lt 0 $. Супротни бројеви имају једнаке апсолутне вредности.

а) $ -2,6 $, $ 1,3 $, $ -1,3 $, $ 0,2 $
Негативни бројеви су $ -2,6 $ и $ -1,3 $; од њих је већи онај ближи нули, дакле $ -1,3 $. Затим следе позитивни $ 0,2 $ и $ 1,3 $. Растући по...

Question 10

На бројевној правој прикажи скуп бројева који су од броја 2 удаљени: а) 1 јединицу мере; б) не више од $ 0,5 $ јединица мере; в) више од $ 0,1 $ јединица мере.

Accepted Answer

Идеја
Растојање тачке $ x $ од броја 2 на бројевној правој једнако је $ |x - 2| $. Сваки услов из задатка преводимо у услов о том растојању, а затим на бројевној правој мерамо тражено растојање лево и десно од броја 2.

а) Тачно 1 јединицу мере
Тражимо бројеве за које је $ |x - 2| = 1 $. Од броја 2 одмеримо 1 јединицу улево и 1 удесно:
$$ x = 2 - 1 = 1 \quad \text{или} \quad x = 2 + 1 = 3. $$
На цртежу су то две тачке, обележене пуним кружићима: 1 и 3. Скуп је $ \{1, 3\} $.

б) Не више о...

Question 11

На бројевној правој прикажи скуп бројева $ x $ таквих да је: а) $ |x| \gt 1 $; б) $ |x| \le 0,8 $; в) $ 2,1 \lt |x| \lt 3 $; г) $ |x - 3| \lt 1 $.

Accepted Answer

Идеја
Као у примеру 7, користимо геометријско значење апсолутне вредности: $ |x| $ је растојање тачке $ x $ од нуле, а $ |x - a| $ растојање тачке $ x $ од броја $ a $.

а) $ |x| \gt 1 $
Тражимо бројеве који су од нуле удаљени више од 1 јединице мере. То су сви бројеви лево од $ -1 $ и сви бројеви десно од 1, али не и саме тачке $ -1 $ и 1 (оне су удаљене тачно 1). Обе цртамо празним кружићима и подебљамо обе полуправе:
\[ x \lt -1 \quad \text{или} \quad x \gt 1, \qquad (-\infty,...

I.3. Скуп Реалних Бројева И Бројевна Права

Изабери решење задатка:

Идеја

а) \( x \gt 3 \)

б) \( x \gt 5 \) и \( x \lt 7 \)

в) \( x \ge -2,1 \) и \( x \lt 1 \)

г) \( x \ge -5 \) и \( x \le -2,5 \)

Провера

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста