Најважније из лекције
Кључна правила која олакшавају рад са реалним бројевима и коренима:
- Сабирање и множење су комутативни и асоцијативни. Нула не мења збир, јединица не мења производ.
- Дистрибутивност повезује множење и сабирање: \(a(b+c) = ab+ac\).
- Множење/Дељење корена: Може се извршити под једним кореном: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\).
- Делимично кореновање: Извлачење потпуног квадрата испред корена (\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)).
- Рационалисање: Проширивање разломка ради уклањања корена из имениоца (\(\frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\)).
Сва својства рачунских операција која важе у скупу рационалних бројева наслеђују се и у скупу реалних бројева (\(\mathbb{R}\)).
За сабирање реалних бројева важе следећа својства:
- Комутативност: \( a + b = b + a \)
- Асоцијативност: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
Број 0 је неутрални елемент за сабирање, јер за свако \(a \in \mathbb{R}\) важи \(a + 0 = 0 + a = a\).
За сваки реалан број \(a\) постоји супротан елемент \(-a\), тако да је \(a + (-a) = 0\).
Одузимање се своди на сабирање са супротним бројем:
\[ a - b = a + (-b) \]
Број супротан збиру једнак је збиру супротних бројева:
\[ -(a + b) = -a - b \]
Упрости израз ослобађањем од заграда: \( \sqrt{5} - (\sqrt{5} + 3) \).
Применом правила за супротан збир добијамо:
\( \sqrt{5} - \sqrt{5} - 3 = 0 - 3 = -3 \).
\( \sqrt{5} - \sqrt{5} - 3 = 0 - 3 = -3 \).
За множење реалних бројева важе следећа својства:
- Комутативност: \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Асоцијативност: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Дистрибутивност множења према сабирању: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
Број 1 је неутрални елемент за множење (\(a \cdot 1 = a\)). Ако је један од чинилаца 0, производ је 0 (\(a \cdot 0 = 0\)).
Дељење се своди на множење реципрочном вредношћу. За \(b \neq 0\) важи: \(a : b = a \cdot \frac{1}{b}\).
За свако \(a, b \in \mathbb{R}\) важи:
\( (-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -ab \)
\( (-a) \cdot (-b) = ab \)
\( (-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -ab \)
\( (-a) \cdot (-b) = ab \)
Уобичајено је да се знак за множење изоставља испред корена. На пример: \(3 \cdot \sqrt{13} = 3\sqrt{13}\).
Корен производа: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) (за \(a \ge 0, b \ge 0\))
Корен количника: \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (за \(a \ge 0, b > 0\))
Корен количника: \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (за \(a \ge 0, b > 0\))
Ова својства важе у оба смера, што омогућава спајање корена при множењу и дељењу, или њихово раздвајање.
| \(a\) | \(b\) | \(\sqrt{a \cdot b}\) | \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) |
|---|---|---|---|
| \(4\) | \(9\) | \(\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6\) | \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6\) |
| \(0.25\) | \(0.04\) | \(\sqrt{0.01} = 0.1\) | \(0.5 \cdot 0.2 = 0.1\) |
За свако \(a \in \mathbb{R}\) важи \(\sqrt{a^2} = |a|\).
За свако \(a \ge 0\) важи \((\sqrt{a})^2 = a\).
За свако \(a \ge 0\) важи \((\sqrt{a})^2 = a\).
Делимично кореновање је поступак при коме се поткорена величина представља као производ чинилаца од којих је бар један потпун квадрат, како би се корен упростио.
Делимично кореновање броја 8:
\[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
Рационалисање имениоца је поступак проширивања разломка тако да се у имениоцу елиминише корен.
Рационалисање разломка:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Задаци за вежбање
Лак: Користећи својство корена производа и количника, израчунај вредност израза:
а) \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}\)
б) \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\)
а) \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}\)
б) \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\)
а) \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\)
б) \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5\)
б) \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5\)
Средњи: Упрости израз применом делимичног кореновања и својстава сабирања:
\(\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}\)
\(\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}\)
Прво применимо делимично кореновање:
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
Сада заменимо у израз:
\(2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2 + 3 - 1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
Сада заменимо у израз:
\(2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2 + 3 - 1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
Средњи: Рационалиши имениоце следећих разломака:
а) \(\frac{6}{\sqrt{3}}\)
б) \(\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\)
а) \(\frac{6}{\sqrt{3}}\)
б) \(\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\)
а) \(\frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)
б) \(\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}\)
б) \(\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}\)
Тежак: Израчунај вредност израза применом дистрибутивности и правила за множење коренова:
\(\sqrt{2} \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{2}) + \frac{10}{\sqrt{5}}\)
\(\sqrt{2} \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{2}) + \frac{10}{\sqrt{5}}\)
Први део (дистрибутивност):
\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2\)
Други део (рационализација):
\(\frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\)
Резултат: \(2 + 2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2\)
Други део (рационализација):
\(\frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\)
Резултат: \(2 + 2\sqrt{5}\)
