Рачунске Операције У Скупу Реалних Бројева

Question 1

Дати израз трансформиши у једноставнији облик: а) $ 42,5 + 3\sqrt{2} - 1,1 $; б) $ 3\sqrt{5} + 7 - 21\sqrt{5} $; в) $ -\frac{4}{7} \cdot \sqrt{5} \cdot (-21) $; г) $ -3\sqrt{7} \cdot (-7) \cdot 2\sqrt{7} $; д) $ \sqrt{3} \cdot (1 - \sqrt{3}) $; ђ) $ \sqrt{11} \cdot (3\sqrt{11} - 2) $.

Accepted Answer

Користимо особине рачунских операција у скупу реалних бројева: комутативност, асоцијативност и дистрибутивност. Рационалне сабирке групишемо са рационалним, а сличне корене међусобно.

а) $ 42,5 + 3\sqrt{2} - 1,1 $
Сабирци $ 42,5 $ и $ -1,1 $ су рационални бројеви, па их можемо сабрати; члан $ 3\sqrt{2} $ остаје непромењен.
$$ 42,5 + 3\sqrt{2} - 1,1 = (42,5 - 1,1) + 3\sqrt{2} = 41,4 + 3\sqrt{2} $$

б) $ 3\sqrt{5} + 7 - 21\sqrt{5} $
Чланови $ 3\sqrt{5} $ и $ -21\sqrt{5} $ су слични...

Question 2

Користећи да је $ \sqrt{3} \approx 1,73 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $, израчунај приближно на две децимале: а) $ 5 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) $; б) $ (3\sqrt{5} + 2) \cdot \sqrt{5} - \sqrt{3} \cdot (1 + \sqrt{3}) $.

Accepted Answer

Као у Примеру 2 из уџбеника, израз прво трансформишемо у једноставнији облик, па тек онда уместо корена уврстимо приближне вредности $ \sqrt{3} \approx 1,73 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $.

а) $ 5 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) $
Прво по дистрибутивности помножимо $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ са сваким сабирком у загради:
$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) = \frac{4\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} + \frac{3}{2} $$
Сада је
\[ 5 - \left(2\sqrt{3} + 1...

Question 3

Реши једначину: а) $ 3\sqrt{2} + x = 0 $; б) $ 5\sqrt{3} - x = -\sqrt{3} $; в) $ x - 4 = \sqrt{2} $; г) $ 5x = 4\sqrt{3} $; д) $ 3x + 3\sqrt{3} = -3\sqrt{3} $; ђ) $ -4x - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{5} $.

Accepted Answer

Као што каже напомена у уџбенику, једначине у скупу $ R $ решавамо на исти начин као у скупу $ Q $: непознату изолујемо додавањем супротног броја и множењем инверзним бројем. Ирационалне бројеве остављамо у облику са кореном.

а) $ 3\sqrt{2} + x = 0 $
$$ x = 0 - 3\sqrt{2} = -3\sqrt{2} $$
Провера: $ 3\sqrt{2} + (-3\sqrt{2}) = 0 $.

б) $ 5\sqrt{3} - x = -\sqrt{3} $
$$ -x = -\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = -6\sqrt{3} \quad / \cdot (-1) $$
$$ x = 6\sqrt{3} $$
Провера: \( 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -\s...

Question 4

Упореди бројеве: а) $ \sqrt{11} $ и $ 4 $; б) $ \sqrt{6} $ и $ 2\frac{1}{2} $; в) $ \frac{2}{3} $ и $ \sqrt{\frac{6}{7}} $; г) $ 4,48 $ и $ \sqrt{20} $; д) $ 2\sqrt{3} $ и $ 3\sqrt{2} $.

Accepted Answer

Као у Примеру 3, два позитивна броја упоређујемо тако што упоредимо њихове квадрате: за позитивне бројеве $ a $ и $ b $ из $ a^2 \lt b^2 $ следи $ a \lt b $.

а) $ \sqrt{11} $ и $ 4 $
$$ \left(\sqrt{11}\right)^2 = 11, \qquad 4^2 = 16 $$
Како је $ 11 \lt 16 $, а оба броја су позитивна, следи $ \sqrt{11} \lt 4 $.

б) $ \sqrt{6} $ и $ 2\frac{1}{2} $
Мешовити број записујемо као $ 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} $.
\[ \left(\sqrt{6}\right)^2 = 6, \qquad \left(\frac{5}{2}\right)^2 =...

Question 5

Упореди бројеве: а) $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $ и $ \frac{5}{7}\sqrt{3} $; б) $ -\frac{2}{3}\sqrt{3} $ и $ -\frac{5}{7}\sqrt{3} $; в) $ 3 + 2\sqrt{5} $ и $ 3 + 2\sqrt{2} $; г) $ 3 - \sqrt{7} $ и $ 3 - 2\sqrt{2} $.

Accepted Answer

Као у Примеру 4, користимо својства поретка: сагласност са множењем позитивним бројем, промену смера при множењу негативним бројем и сагласност са сабирањем.

а) $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $ и $ \frac{5}{7}\sqrt{3} $
Оба броја су производ истог позитивног броја $ \sqrt{3} $ и разломака $ \frac{2}{3} $, односно $ \frac{5}{7} $. Упоредимо разломке:
$$ \frac{2}{3} = \frac{14}{21}, \qquad \frac{5}{7} = \frac{15}{21}, \qquad \frac{14}{21} \lt \frac{15}{21} $$
Дакле \( \frac{2}{3} \lt \frac{5}{7}...

Question 6

Реши неједначину у скупу $ R $ и скуп решења представи на бројевној правој: а) $ 2\sqrt{3} + x \lt 0 $; б) $ 2\sqrt{3} + x \lt -\sqrt{3} $; в) $ 2 - x \gt \sqrt{2} $; г) $ 4x \gt 3\sqrt{2} $; д) $ 4x + 2\sqrt{2} \gt 3\sqrt{2} $; ђ) $ -4x \gt 3\sqrt{2} $; е) \( -4x + 2\sqrt{2} \gt 3\sqr...

Accepted Answer

Као у Примеру 5, неједначине у скупу $ R $ решавамо истим правилима као у скупу $ Q $. Пажња: при множењу или дељењу негативним бројем смер неједнакости се мења.

а) $ 2\sqrt{3} + x \lt 0 $
$$ x \lt -2\sqrt{3} $$
Како је $ 2\sqrt{3} \approx 3,46 $, на бројевној правој шрафирамо све тачке лево од тачке $ -2\sqrt{3} $ (између $ -4 $ и $ -3 $); сама тачка $ -2\sqrt{3} $ није решење, па је означавамо празним кружићем.

б) $ 2\sqrt{3} + x \lt -\sqrt{3} $
\[ x \lt -\sqrt{3} - 2\sqrt{...

Question 7

Израчунај: а) $ \sqrt{(-5)^2} $; б) $ \sqrt{(-11)^2} $; в) $ \sqrt{(-30)^2} $.

Accepted Answer

Користимо једнакост $ \sqrt{a^2} = |a| $, која важи за сваки реалан број $ a $. Уџбеник посебно упозорава да $ \sqrt{(-3)^2} \neq -3 $, јер је квадратни корен увек ненегативан.

а) $ \sqrt{(-5)^2} $
$$ \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 $$
Провера: $ (-5)^2 = 25 $ и $ \sqrt{25} = 5 $.

б) $ \sqrt{(-11)^2} $
$$ \sqrt{(-11)^2} = |-11| = 11 $$
Провера: $ (-11)^2 = 121 $ и $ \sqrt{121} = 11 $.

в) $ \sqrt{(-30)^2} $
$$ \sqrt{(-30)^2} = |-30| = 30 $$
Провера: $ (-30)^2 = 900 $ и \( \sqrt{...

Question 8

Израчунај: а) $ \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} $; б) $ \sqrt{(\sqrt{3} - 3)^2} $; в) $ \sqrt{\left(\sqrt{2} - \frac{3}{2}\right)^2} $.

Accepted Answer

И овде користимо $ \sqrt{a^2} = |a| $, али је сада $ a $ израз са кореном, па прво морамо утврдити да ли је тај израз позитиван или негативан (као у Примеру 7).

а) $ \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1| $
Упоредимо $ \sqrt{2} $ и $ 1 $: из $ 1 \lt 2 $ следи $ 1 \lt \sqrt{2} $. Дакле $ \sqrt{2} - 1 $ је позитиван број, па је
$$ |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1 $$

б) $ \sqrt{(\sqrt{3} - 3)^2} = |\sqrt{3} - 3| $
Како је $ 3 = \sqrt{9} $ и $ 3 \lt 9 $, важи \( \sqrt{3} \lt 3...

Question 9

Користећи да је $ \sqrt{2} \approx 1,41 $ и $ \sqrt{3} \approx 1,73 $, израчунај приближно на две децимале: а) $ \sqrt{50} $; б) $ \sqrt{27} $; в) $ \sqrt{75} $; г) $ \sqrt{7\,938} $.

Accepted Answer

Као у Примеру 8 и 9, број под кореном растављамо на чиниоце тако да издвојимо потпуне квадрате, па користимо $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $. Тек на крају уврштавамо $ \sqrt{2} \approx 1,41 $ и $ \sqrt{3} \approx 1,73 $.

а) $ \sqrt{50} $
$$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \approx 5 \cdot 1,41 = 7,05 $$

б) $ \sqrt{27} $
$$ \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1,73 = 5,19 $$

в) \( \sqr...

Question 10

Одреди знак разлике: а) $ \sqrt{48} - 5\sqrt{3} $; б) $ \frac{\sqrt{56}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \sqrt{7} $.

Accepted Answer

Знак разлике одређујемо тако што оба сабирка сведемо на исти корен (делимичним кореновањем), па их одузмемо. Приближне вредности нам нису потребне.

а) $ \sqrt{48} - 5\sqrt{3} $
$$ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $$
$$ \sqrt{48} - 5\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (4 - 5)\sqrt{3} = -\sqrt{3} $$
Како је $ \sqrt{3} $ позитиван број, разлика $ -\sqrt{3} $ је негативна.

б) $ \frac{\sqrt{56}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \sqrt{7} $
Први сабирак: \( \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14}...

Question 11

Користећи да је $ \sqrt{2} \approx 1,41 $, $ \sqrt{3} \approx 1,73 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $, израчунај приближно на две децимале: а) $ \sqrt{\frac{3}{16}} $; б) $ \sqrt{\frac{80}{121}} $; в) $ \sqrt{0,0648} $; г) $ \sqrt{\frac{75}{256}} $.

Accepted Answer

Као у Примерима 10 и 11, бројилац и именилац записујемо као производе у којима се појављују потпуни квадрати, па користимо $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $. Уврштавамо $ \sqrt{2} \approx 1,41 $, $ \sqrt{3} \approx 1,73 $, $ \sqrt{5} \approx 2,24 $.

а) $ \sqrt{\frac{3}{16}} $
$$ \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4^2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \approx \frac{1,73}{4} = 0,4325 \approx 0,43 $$

б) $ \sqrt{\frac{80}{121}} $
$ 80 = 16 \cdot 5 = 4^2 \cdot 5 $ и \(...

Question 12

Рационалиши: а) $ \frac{1}{\sqrt{2}} $; б) $ \frac{2}{\sqrt{3}} $; в) $ \frac{6}{\sqrt{8}} $.

Accepted Answer

Рационалисање значи да се ослободимо ирационалног броја у имениоцу. Дати разломак множимо бројем $ 1 $ записаним као $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} $, где је $ \sqrt{a} $ корен из имениоца (Пример 13).

а) $ \frac{1}{\sqrt{2}} $
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

б) $ \frac{2}{\sqrt{3}} $
\[ \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3...

Question 13

Користећи да је $ \sqrt{2} \approx 1,41 $, $ \sqrt{3} \approx 1,73 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $, израчунај приближно на две децимале: а) $ \sqrt{32} - \sqrt{48} $; б) $ 8\sqrt{2} + \sqrt{108} $; в) $ 7\sqrt{405} - \sqrt{720} $.

Accepted Answer

Као у Примеру 14, прво сваки корен делимично коренујемо, затим саберемо сличне корене, па тек на крају уврстимо $ \sqrt{2} \approx 1,41 $, $ \sqrt{3} \approx 1,73 $, $ \sqrt{5} \approx 2,24 $.

а) $ \sqrt{32} - \sqrt{48} $
$$ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}, \qquad \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $$
$$ \sqrt{32} - \sqrt{48} = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{3} \approx 4 \cdot 1,41 - 4 \cdot 1,73 = 5,64 - 6,92 = -1,28 $$
Корени $ \sqrt{2} $ и $ \sqrt{3} $ нису слични, па се изр...

Question 14

Дати израз трансформиши у најједноставнији облик. а) $ (2 - 3\sqrt{15}) \cdot \sqrt{5} + \sqrt{245} - 7\sqrt{192} $; б) $ \sqrt{27} \cdot (1 + \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{24} - \sqrt{6}}{\sqrt{2}} $.

Accepted Answer

Користимо дистрибутивност, правило $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $, правило $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $ и делимично кореновање.

а) $ (2 - 3\sqrt{15}) \cdot \sqrt{5} + \sqrt{245} - 7\sqrt{192} $
Множимо заграду:
$$ (2 - 3\sqrt{15}) \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{15} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{75} $$
Делимично коренујемо $ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} $, па је $ -3\sqrt{75} = -15\sqrt{3} $.
Даље: \( \sqrt{245} = \sqrt{49 \...

Question 15

Реши једначину: а) $ x^2 = 4 $; б) $ x^2 = 5 $; в) $ x^2 - 18 = 0 $; г) $ x^2 - 175 = 0 $; д) $ x^2 = 0 $; ђ) $ x^2 = -2 $.

Accepted Answer

Правило из уџбеника: једначина $ x^2 = r $ за $ r \gt 0 $ има два решења, $ x_1 = \sqrt{r} $ и $ x_2 = -\sqrt{r} $; за $ r = 0 $ има једно решење $ x = 0 $; за $ r \lt 0 $ нема решења у скупу $ R $, јер квадрат реалног броја не може бити негативан.

а) $ x^2 = 4 $
$$ x_1 = \sqrt{4} = 2, \qquad x_2 = -\sqrt{4} = -2 $$

б) $ x^2 = 5 $
$$ x_1 = \sqrt{5}, \qquad x_2 = -\sqrt{5} $$
Оба решења су ирационални бројеви.

в) $ x^2 - 18 = 0 $
$$ x^2 = 18 $$
Делимично коренујемо: \( \s...

Question 16

а) Наведи бар три броја $ a $ таква да једначина $ x^2 = a $ има два решења. б) Наведи бар три броја $ a $ таква да једначина $ x^2 = a $ нема решења. в) Наведи један број $ a $ такав да једначина $ x^2 = a $ има два рационална решења. г) Наведи један број $ a $ такав да једначина \( x...

Accepted Answer

Полазимо од правила: једначина $ x^2 = a $ има два решења ако је $ a \gt 0 $, једно решење ако је $ a = 0 $, а нема решења ако је $ a \lt 0 $.

а) Бројеви $ a $ за које $ x^2 = a $ има два решења
Довољно је узети било који позитиван број, на пример $ a = 1 $, $ a = 7 $, $ a = 100 $.
Заиста: $ x^2 = 1 $ даје $ x = 1 $ и $ x = -1 $; $ x^2 = 7 $ даје $ x = \sqrt{7} $ и $ x = -\sqrt{7} $; $ x^2 = 100 $ даје $ x = 10 $ и $ x = -10 $.

б) Бројеви $ a $ за које \(...

Question 17

Реши једначину: а) $ (x + 2)^2 = 2 $; б) $ (2x + 3)^2 - 72 = 0 $; в) $ \sqrt{(x + 2)^2} = 2 $; г) $ \sqrt{(x - \sqrt{2})^2} = 5 $. Упутство. Замисли да је читав израз у загради непозната величина, па прво одреди његову вредност. Знајући вредност тог израза, једноставно је одредити вредности...

Accepted Answer

У свим деловима користимо упутство из уџбеника: израз у загради посматрамо као једну непознату величину, прво одредимо њену вредност, па тек онда рачунамо $ x $.

а) $ (x+2)^2 = 2 $
Означимо $ t = x + 2 $. Тада једначина гласи $ t^2 = 2 $. То је једначина облика $ t^2 = r $ где је $ r = 2 $ позитиван број, па она у скупу реалних бројева има два решења:
$$ t_1 = \sqrt{2}, \qquad t_2 = -\sqrt{2}. $$
Враћамо смену $ t = x + 2 $:
\[ x + 2 = \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = -2 + \...

Question 18

Реши једначину: а) $ x^2 + (y - 1)^2 = 0 $; б) $ (2x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 0 $.

Accepted Answer

Користимо тврђење из Примера 17: за сваки реалан број важи $ a^2 \ge 0 $, а из $ a^2 = 0 $ следи $ a = 0 $. Зато је збир квадрата два реална броја једнак нули само ако су оба броја једнака нули. Наиме, када би један од сабирака био позитиван, збир би такође био позитиван, јер је други сабирак ненегативан.

а) $ x^2 + (y-1)^2 = 0 $
На левој страни је збир квадрата бројева $ x $ и $ y - 1 $. Тај збир је нула само ако је сваки од њих нула:
$$ x = 0 \qquad \text{и} \qquad y - 1 = 0. $$
И...

Question 19

Докажи да је $ a $ ирационалан број, ако је: а) $ a = \sqrt{3} + 5 $; б) $ a = 1 - \sqrt{2} $; в) $ a = 2\sqrt{3} $; г) $ a = \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Accepted Answer

Доказујемо на исти начин као у Примеру 18: претпоставимо супротно, да је број $ a $ рационалан, и покажимо да би из тога следило да је неки корен ($ \sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $, $ \sqrt{5} $) рационалан број, а знамо да то није тачно. Користимо и то да је скуп рационалних бројева затворен за све четири основне рачунске операције (дељење нулом није дозвољено).

а) $ a = \sqrt{3} + 5 $
Претпоставимо да је $ a $ рационалан број, тј. $ a \in Q $. Из $ a = \sqrt{3} + 5 $ следи
\[ \sqrt{3...

Question 20

Нека је $ r $ рационалан број различит од нуле, а $ x $ ирационалан. Докажи да је број $ y $ ирационалан, ако је: а) $ y = r + x $; б) $ y = r - x $; в) $ y = r : x $; г) $ y = x : r $.

Accepted Answer

Дато је: $ r \in Q $, $ r \neq 0 $ и $ x \in I $ (ирационалан). У сваком делу доказујемо да је $ y $ ирационалан, поступком свођења на противречност, као у Примерима 18 и 19. Основа доказа је да је скуп $ Q $ затворен за сабирање, одузимање, множење и дељење (делиоцем различитим од нуле).
Напоменимо и да је $ x \neq 0 $, јер је 0 рационалан број, а $ x $ је ирационалан. Зато је дељење бројем $ x $ у делу в) дозвољено.

а) $ y = r + x $
Претпоставимо да је $ y $ рационалан бро...

\(a\)	\(b\)	\(\sqrt{a \cdot b}\)	\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)
\(4\)	\(9\)	\(\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6\)	\(\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6\)
\(0.25\)	\(0.04\)	\(\sqrt{0.01} = 0.1\)	\(0.5 \cdot 0.2 = 0.1\)

I.5. Рачунске Операције У Скупу Реалних Бројева

Изабери решење задатка:

а) \( 2\sqrt{3} + x \lt 0 \)

б) \( 2\sqrt{3} + x \lt -\sqrt{3} \)

в) \( 2 - x \gt \sqrt{2} \)

г) \( 4x \gt 3\sqrt{2} \)

д) \( 4x + 2\sqrt{2} \gt 3\sqrt{2} \)

ђ) \( -4x \gt 3\sqrt{2} \)

е) \( -4x + 2\sqrt{2} \gt 3\sqrt{2} \)

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста