Рачунске Операције У Скупу Реалних Бројева

Question 1

Дати израз трансформиши у једноставнији облик: а) $ 42,5 + 3\sqrt{2} - 1,1 $; б) $ 3\sqrt{5} + 7 - 21\sqrt{5} $; в) $ -\frac{4}{7} \cdot \sqrt{5} \cdot (-21) $; г) $ -3\sqrt{7} \cdot (-7) \cdot 2\sqrt{7} $; д) $ \sqrt{3} \cdot (1 - \sqrt{3}) $; ђ) $ \sqrt{11} \cdot (3\sqrt{11} - 2) $.

Accepted Answer

а) $ 42,5 + 3\sqrt{2} - 1,1 $
Корак 1: Груписање рационалних бројева
Израз садржи рационалне бројеве $ 42,5 $ и $ 1,1 $ и ирационални број $ 3\sqrt{2} $. Користимо комутативност сабирања и групишемо рационалне бројеве.
$$ 42,5 + 3\sqrt{2} - 1,1 = 42,5 - 1,1 + 3\sqrt{2} $$
Корак 2: Одузимање
Одузимамо децималне бројеве: $ 42,5 - 1,1 = 41,4 $. Број $ 3\sqrt{2} $ не можемо сабрати са рационалним бројем, па остаје непромењен.
$$ 41,4 + 3\sqrt{2} $$

б) $ 3\sqrt{5} + 7 - 21\sqrt{5} $
Ко...

Question 2

Користећи да је $ \sqrt{3} \approx 1,73 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $, израчунај приближно на две децимале: а) $ 5 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) $; б) $ (3\sqrt{5} + 2) \cdot \sqrt{5} - \sqrt{3} \cdot (1 + \sqrt{3}) $.

Accepted Answer

Најпре ћемо сваки израз трансформисати у једноставнији облик, а тек онда ћемо ирационалне бројеве заменити њиховим приближним вредностима $ \sqrt{3} \approx 1,73 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $.

а) $ 5 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) $
Корак 1: Примена дистрибутивности
Множимо $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ са сваким чланом у загради.
$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (4 + \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} $$
Корак 2: Скраћивање и сређивање
У првом саб...

Question 3

Реши једначину: а) $ 3\sqrt{2} + x = 0 $; б) $ 5\sqrt{3} - x = -\sqrt{3} $; в) $ x - 4 = \sqrt{2} $; г) $ 5x = 4\sqrt{3} $; д) $ 3x + 3\sqrt{3} = -3\sqrt{3} $; ђ) $ -4x - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{5} $.

Accepted Answer

Једначине у скупу $ R $ решавамо на исти начин као у скупу $ Q $: непознату изолујемо пребацивањем чланова на другу страну (уз промену знака) и дељењем обе стране истим бројем различитим од нуле.

а) $ 3\sqrt{2} + x = 0 $
Корак 1: Изоловање непознате
Пребацујемо $ 3\sqrt{2} $ на десну страну и мењамо му знак.
$$ x = -3\sqrt{2} $$

б) $ 5\sqrt{3} - x = -\sqrt{3} $
Корак 1: Пребацивање познатих чланова
Пребацујемо $ 5\sqrt{3} $ на десну страну.
$$ -x = -\sqrt{3} - 5\sqrt{3} $$
Корак 2:...

Question 4

Упореди бројеве: а) $ \sqrt{11} $ и $ 4 $; б) $ \sqrt{6} $ и $ 2\frac{1}{2} $; в) $ \frac{2}{3} $ и $ \sqrt{\frac{6}{7}} $; г) $ 4,48 $ и $ \sqrt{20} $; д) $ 2\sqrt{3} $ и $ 3\sqrt{2} $.

Accepted Answer

Сви дати бројеви су позитивни. За позитивне бројеве $ a $ и $ b $ важи: из $ a^2 < b^2 $ следи $ a < b $. Зато не морамо рачунати корене, већ је довољно да упоредимо квадрате датих бројева.

а) $ \sqrt{11} $ и $ 4 $
Корак 1: Квадрирање бројева
$$ (\sqrt{11})^2 = 11, \quad 4^2 = 16 $$
Корак 2: Упоређивање
Како је $ 11 < 16 $, следи $ \sqrt{11} < 4 $.

б) $ \sqrt{6} $ и $ 2\frac{1}{2} $
Корак 1: Претварање мешовитог броја
$$ 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} $$
Корак 2: Квадрирање бро...

Question 5

Упореди бројеве: а) $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $ и $ \frac{5}{7}\sqrt{3} $; б) $ -\frac{2}{3}\sqrt{3} $ и $ -\frac{5}{7}\sqrt{3} $; в) $ 3 + 2\sqrt{5} $ и $ 3 + 2\sqrt{2} $; г) $ 3 - \sqrt{7} $ и $ 3 - 2\sqrt{2} $.

Accepted Answer

Користићемо својства поретка у скупу реалних бројева: ако је $ a < b $ и $ c > 0 $, онда је $ a \cdot c < b \cdot c $; из $ a < b $ следи $ -a > -b $; из $ a < b $ следи $ c + a < c + b $; за позитивне бројеве из $ a^2 < b^2 $ следи $ a < b $. а) $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $ и $ \frac{5}{7}\sqrt{3} $ Корак 1: Упоређивање коефицијената Оба броја садрже исти чинилац $ \sqrt{3} $, па упоређујемо коефицијенте $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{7} $. Сводимо их на заједнички именила...

Question 6

Реши неједначину у скупу $ R $ и скуп решења представи на бројевној правој: а) $ 2\sqrt{3} + x \lt 0 $; б) $ 2\sqrt{3} + x \lt -\sqrt{3} $; в) $ 2 - x \gt \sqrt{2} $; г) $ 4x \gt 3\sqrt{2} $; д) $ 4x + 2\sqrt{2} \gt 3\sqrt{2} $; ђ) $ -4x \gt 3\sqrt{2} $; е) \( -4x + 2\sqrt{2} \gt 3\sqr...

Accepted Answer

Неједначине у скупу реалних бројева решавамо применом истих правила као у скупу рационалних бројева: истом броју можемо додати (или одузети) обема странама, а при множењу или дељењу обе стране негативним бројем мењамо смер знака неједнакости. Да бисмо лакше означили границу скупа решења на бројевној правој, користимо приближне вредности $ \sqrt{2} \approx 1,41 $ и $ \sqrt{3} \approx 1,73 $. Граница скупа решења не припада скупу (неједнакости су строге), па је на бројевној правој означавамо п...

Question 7

Израчунај: а) $ \sqrt{(-5)^2} $; б) $ \sqrt{(-11)^2} $; в) $ \sqrt{(-30)^2} $.

Accepted Answer

За сваки реалан број $ a $ важи $ \sqrt{a^2} = |a| $. Квадратни корен је увек ненегативан број, па резултат не може бити негативан.

а) $ \sqrt{(-5)^2} $
Корак 1: Примена једнакости $ \sqrt{a^2} = |a| $
$$ \sqrt{(-5)^2} = |-5| $$
Корак 2: Израчунавање апсолутне вредности
Апсолутна вредност негативног броја једнака је њему супротном броју.
$$ |-5| = 5 $$
Провера: $ (-5)^2 = 25 $ и $ \sqrt{25} = 5 $.

б) $ \sqrt{(-11)^2} $
Корак 1: Примена једнакости $ \sqrt{a^2} = |a| $
\[ \sqrt{(...

Question 8

Израчунај: а) $ \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} $; б) $ \sqrt{(\sqrt{3} - 3)^2} $; в) $ \sqrt{\left(\sqrt{2} - \frac{3}{2}\right)^2} $.

Accepted Answer

Користимо једнакост $ \sqrt{a^2} = |a| $. Да бисмо одредили апсолутну вредност разлике, прво упоређујемо умањеник и умањилац: ако је разлика негативна, апсолутна вредност је једнака супротној разлици (обрћемо редослед умањеника и умањиоца).

а) $ \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} $
Корак 1: Примена једнакости $ \sqrt{a^2} = |a| $
$$ \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1| $$
Корак 2: Упоређивање бројева $ \sqrt{2} $ и $ 1 $
Како је $ 1 = \sqrt{1} $ и $ 1 < 2 $, следи $ 1 < \sqrt{2} $, па...

Question 9

Користећи да је $ \sqrt{2} \approx 1,41 $ и $ \sqrt{3} \approx 1,73 $, израчунај приближно на две децимале: а) $ \sqrt{50} $; б) $ \sqrt{27} $; в) $ \sqrt{75} $; г) $ \sqrt{7\,938} $.

Accepted Answer

Сваки поткорени број растављамо на производ потпуног квадрата и броја $ 2 $ или $ 3 $, па примењујемо правило $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ (делимично кореновање). Тек на крају замењујемо $ \sqrt{2} \approx 1,41 $ и $ \sqrt{3} \approx 1,73 $.

а) $ \sqrt{50} $
Корак 1: Делимично кореновање
Како је $ 50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2 $, добијамо:
$$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $$
Корак 2: Приближна вредност
\[ 5\sqrt{2} \approx 5...

Question 10

Одреди знак разлике: а) $ \sqrt{48} - 5\sqrt{3} $; б) $ \frac{\sqrt{56}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \sqrt{7} $.

Accepted Answer

Да бисмо одредили знак разлике, прво ћемо делимичним кореновањем свести корене на сличне корене, а затим израчунати разлику.

а) $ \sqrt{48} - 5\sqrt{3} $
Корак 1: Делимично кореновање
Како је $ 48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3 $, добијамо:
$$ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} $$
Корак 2: Одузимање сличних корена
$$ \sqrt{48} - 5\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (4 - 5)\sqrt{3} = -\sqrt{3} $$
Корак 3: Одређивање знака
Како је $ \sqrt{3} > 0 $, следи \( -\sq...

Question 11

Користећи да је $ \sqrt{2} \approx 1,41 $, $ \sqrt{3} \approx 1,73 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $, израчунај приближно на две децимале: а) $ \sqrt{\frac{3}{16}} $; б) $ \sqrt{\frac{80}{121}} $; в) $ \sqrt{0,0648} $; г) $ \sqrt{\frac{75}{256}} $.

Accepted Answer

Користимо правило $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ (за $ a \ge 0 $, $ b > 0 $) и делимично кореновање, а тек на крају замењујемо $ \sqrt{2} \approx 1,41 $, $ \sqrt{3} \approx 1,73 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $. Резултат заокругљујемо на две децимале.

а) $ \sqrt{\frac{3}{16}} $
Корак 1: Корен разломка
$$ \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4} $$
Корак 2: Приближна вредност
\[ \frac{\sqrt{3}}{4} \approx \frac{1,73}{4} = 0,4325 \approx...

Question 12

Рационалиши: а) $ \frac{1}{\sqrt{2}} $; б) $ \frac{2}{\sqrt{3}} $; в) $ \frac{6}{\sqrt{8}} $.

Accepted Answer

Рационалисање значи да разломак проширимо тако да у имениоцу више нема корена. Ако се у имениоцу јавља $ \sqrt{a} $, разломак множимо бројем 1 записаним као $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} $ и користимо $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a $.

а) $ \frac{1}{\sqrt{2}} $
Корак 1: Проширивање разломка
У имениоцу је $ \sqrt{2} $, па множимо бројилац и именилац са $ \sqrt{2} $.
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} $$
Корак 2: Израчу...

Question 13

Користећи да је $ \sqrt{2} \approx 1,41 $, $ \sqrt{3} \approx 1,73 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $, израчунај приближно на две децимале: а) $ \sqrt{32} - \sqrt{48} $; б) $ 8\sqrt{2} + \sqrt{108} $; в) $ 7\sqrt{405} - \sqrt{720} $.

Accepted Answer

Најпре ћемо делимичним кореновањем трансформисати изразе у једноставнији облик, па тек онда заменити $ \sqrt{2} \approx 1,41 $, $ \sqrt{3} \approx 1,73 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $.

а) $ \sqrt{32} - \sqrt{48} $
Корак 1: Делимично кореновање
Како је $ 32 = 16 \cdot 2 $ и $ 48 = 16 \cdot 3 $, добијамо:
$$ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}, \quad \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $$
$$ \sqrt{32} - \sqrt{48} = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{3} $$
Корени $ \sqrt{2} $ и \( \sqrt{3}...

Question 14

Дати израз трансформиши у најједноставнији облик. а) $ (2 - 3\sqrt{15}) \cdot \sqrt{5} + \sqrt{245} - 7\sqrt{192} $; б) $ \sqrt{27} \cdot (1 + \sqrt{3}) + \frac{\sqrt{24} - \sqrt{6}}{\sqrt{2}} $.

Accepted Answer

а) $ (2 - 3\sqrt{15}) \cdot \sqrt{5} + \sqrt{245} - 7\sqrt{192} $
Корак 1: Ослобађање заграде
Множимо $ \sqrt{5} $ са сваким чланом у загради и користимо $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.
$$ (2 - 3\sqrt{15}) \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{15 \cdot 5} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{75} $$
Како је $ 75 = 25 \cdot 3 $, важи $ \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $, па је:
$$ 2\sqrt{5} - 3 \cdot 5\sqrt{3} = 2\sqrt{5} - 15\sqrt{3} $$
Корак 2: Делимично кореновање преосталих корена
Како је \( 245...

Question 15

Реши једначину: а) $ x^2 = 4 $; б) $ x^2 = 5 $; в) $ x^2 - 18 = 0 $; г) $ x^2 - 175 = 0 $; д) $ x^2 = 0 $; ђ) $ x^2 = -2 $.

Accepted Answer

Једначина $ x^2 = r $ за $ r > 0 $ у скупу $ R $ има два решења: $ x = \sqrt{r} $ и $ x = -\sqrt{r} $. За $ r = 0 $ једино решење је $ x = 0 $, а за $ r < 0 $ једначина нема решења.

а) $ x^2 = 4 $
Корак 1: Анализа десне стране
Број $ 4 $ је позитиван, па једначина има два решења.
Корак 2: Решења
$$ x = \sqrt{4} = 2 \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{4} = -2 $$

б) $ x^2 = 5 $
Корак 1: Решења
Број $ 5 $ је позитиван, па су решења:
\[ x = \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x =...

Question 16

а) Наведи бар три броја $ a $ таква да једначина $ x^2 = a $ има два решења. б) Наведи бар три броја $ a $ таква да једначина $ x^2 = a $ нема решења. в) Наведи један број $ a $ такав да једначина $ x^2 = a $ има два рационална решења. г) Наведи један број $ a $ такав да једначина \( x...

Accepted Answer

Користимо правило: једначина $ x^2 = a $ за $ a > 0 $ има два решења $ x = \sqrt{a} $ и $ x = -\sqrt{a} $; за $ a = 0 $ има једно решење $ x = 0 $; за $ a < 0 $ нема решења у скупу $ R $.

а) Бар три броја $ a $ за која једначина $ x^2 = a $ има два решења
Корак 1: Услов
Једначина има два решења када је $ a > 0 $.
Корак 2: Примери
$$ a = 1: \ x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \ \text{или} \ x = -1 $$
$$ a = 4: \ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \ \text{или} \ x = -2 $$
\[ a = 5: \ x^2 = 5...

Question 17

Реши једначину: а) $ (x + 2)^2 = 2 $; б) $ (2x + 3)^2 - 72 = 0 $; в) $ \sqrt{(x + 2)^2} = 2 $; г) $ \sqrt{(x - \sqrt{2})^2} = 5 $. Упутство. Замисли да је читав израз у загради непозната величина, па прво одреди његову вредност. Знајући вредност тог израза, једноставно је одредити вредности...

Accepted Answer

Према упутству, читав израз у загради посматрамо као непознату величину: прво одређујемо његову вредност, а затим из ње одређујемо $ x $.

а) $ (x + 2)^2 = 2 $
Корак 1: Одређивање вредности израза у загради
Ово је једначина облика $ t^2 = 2 $, где је $ t = x + 2 $. Како је $ 2 > 0 $, постоје два решења:
$$ x + 2 = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x + 2 = -\sqrt{2} $$
Корак 2: Одређивање $ x $
$$ x = -2 + \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = -2 - \sqrt{2} $$

б) \( (2x + 3)^2 - 72 = 0 \...

Question 18

Реши једначину: а) $ x^2 + (y - 1)^2 = 0 $; б) $ (2x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 0 $.

Accepted Answer

За сваки реалан број $ a $ важи $ a^2 \ge 0 $, а из $ a^2 = 0 $ следи $ a = 0 $. Зато из $ a^2 + b^2 = 0 $ следи $ a = 0 $ и $ b = 0 $: збир квадрата два реална броја једнак је нули само ако су оба броја једнака нули.

а) $ x^2 + (y - 1)^2 = 0 $
Корак 1: Примена својства збира квадрата
Оба сабирка су ненегативна, па њихов збир може бити нула само ако је сваки од њих нула:
$$ x = 0 \quad \text{и} \quad y - 1 = 0 $$
Корак 2: Одређивање непознатих
$$ x = 0, \quad y = 1 $$

б) \( (2x...

Question 19

Докажи да је $ a $ ирационалан број, ако је: а) $ a = \sqrt{3} + 5 $; б) $ a = 1 - \sqrt{2} $; в) $ a = 2\sqrt{3} $; г) $ a = \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Accepted Answer

Општи принцип доказивања
Доказ изводимо свођењем на противречност, као у Примеру 18. Претпостављамо да је $ a $ рационалан број, па из дате једнакости изражавамо корен. Користимо да је скуп рационалних бројева $ Q $ затворен за сабирање, одузимање, множење и дељење (делилац различит од нуле), као и то да су $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $ и $ \sqrt{5} $ ирационални бројеви.

а) $ a = \sqrt{3} + 5 $
Корак 1: Претпоставка супротног
Претпоставимо да је $ a = \sqrt{3} + 5 $ рационалан број,...

Question 20

Нека је $ r $ рационалан број различит од нуле, а $ x $ ирационалан. Докажи да је број $ y $ ирационалан, ако је: а) $ y = r + x $; б) $ y = r - x $; в) $ y = r : x $; г) $ y = x : r $.

Accepted Answer

Доказе изводимо свођењем на противречност, као у Примеру 19. У сваком случају претпостављамо да је $ y $ рационалан број, а затим изражавамо $ x $ помоћу рационалних бројева $ r $ и $ y $. Како је скуп $ Q $ затворен за сабирање, одузимање, множење и дељење (делилац различит од нуле), добили бисмо да је $ x $ рационалан, што противречи услову да је $ x \in I $.

а) $ y = r + x $
Корак 1: Претпоставка супротног
Претпоставимо да је $ y \in Q $.
Корак 2: Изражавање броја $ x $
\...

\(a\)	\(b\)	\(\sqrt{a \cdot b}\)	\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)
\(4\)	\(9\)	\(\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6\)	\(\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6\)
\(0.25\)	\(0.04\)	\(\sqrt{0.01} = 0.1\)	\(0.5 \cdot 0.2 = 0.1\)

I.5. Рачунске Операције У Скупу Реалних Бројева

Изабери решење задатка:

а) \( x^2 + (y - 1)^2 = 0 \)

Корак 1: Примена својства збира квадрата

Корак 2: Одређивање непознатих

б) \( (2x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 0 \)

Корак 1: Примена својства збира квадрата

Корак 2: Одређивање непознатих

Кратак запис решења:

а)

б)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

а) \( x^2 + (y - 1)^2 = 0 \)

Корак 1: Примена својства збира квадрата

Корак 2: Одређивање непознатих

б) \( (2x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 0 \)

Корак 1: Примена својства збира квадрата

Корак 2: Одређивање непознатих

Кратак запис решења:

а)

б)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: