Најважније из лекције
Кључни закључци:
• Пропорција дужи: \( AB : CD = PQ : RS \). Ако су дужине 3 и 4, размера је \(3:4\).
• Талесова теорема: Трансверзале пресечене паралелним правама имају пропорционалне одсечке (\( \frac{OA}{OB} = \frac{AA_1}{BB_1} \)).
• Сличност (\(\sim\)): Троуглови су слични ако имају једнаке углове, што значи да су им све одговарајуће странице пропорционалне (\( \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k \)). Ставови: УУ, СУС, ССС.
• Правоугли троугао: Висина над хипотенузом ствара сличне троуглове, одакле важи: \( h^2 = p \cdot q \), \( a^2 = q \cdot c \) и \( b^2 = p \cdot c \).
• Пропорција дужи: \( AB : CD = PQ : RS \). Ако су дужине 3 и 4, размера је \(3:4\).
• Талесова теорема: Трансверзале пресечене паралелним правама имају пропорционалне одсечке (\( \frac{OA}{OB} = \frac{AA_1}{BB_1} \)).
• Сличност (\(\sim\)): Троуглови су слични ако имају једнаке углове, што значи да су им све одговарајуће странице пропорционалне (\( \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k \)). Ставови: УУ, СУС, ССС.
• Правоугли троугао: Висина над хипотенузом ствара сличне троуглове, одакле важи: \( h^2 = p \cdot q \), \( a^2 = q \cdot c \) и \( b^2 = p \cdot c \).
Размера две дужи је количник мерних бројева те две дужи које су мерене истом јединицом мере.
\[ \frac{AB}{CD} = k \quad \text{или} \quad AB : CD = m : n \]
Ознаке: AB и CD су дужине дужи, k је размера, а m и n су природни бројеви.
Ако је размера две дужи рационалан број, дужи су самерљиве (нпр. \(3:2\)). Ако је размера ирационалан број, дужи су несамерљиве (нпр. размера дијагонале и странице квадрата је \(\sqrt{2}\)).
Ако су размере два пара дужи једнаке (\( \frac{AB}{CD} = \frac{PQ}{RS} \)), онда је пар дужи AB и CD пропорционалан пару дужи PQ и RS.
Ако је \( AB : CD = 3 : 4 \) и \( CD = 12 \text{ cm} \), онда је \( AB = \frac{3}{4} CD = \frac{3}{4} \cdot 12 \text{ cm} = 9 \text{ cm} \).
Паралелне праве које секу две праве (трансверзале) одсецају на њима пропорционалне дужи.
Ако праве \(p\) и \(p_1\) које се секу у тачки \(O\) пресечемо паралелним правама \(a\) и \(b\) (које секу \(p\) у \(A\) и \(B\), а \(p_1\) у \(A_1\) и \(B_1\)), важи:
\[ \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} \]
Талесова теорема се користи за поделу дужи у датој размери (нпр. \(m:n\)) и за конструкцију четврте пропорционале дужи (\(a : b = c : x\)).
Нека су дате паралелне праве које секу краке угла са теменом O у тачкама A и B на једном краку, и A₁ и B₁ на другом краку. Ако је \( OA = 3 \text{ cm} \), \( AB = 2 \text{ cm} \) и \( OA_1 = 4,5 \text{ cm} \), израчунај \( A_1B_1 \).
На основу Талесове теореме: \( \frac{OA}{AB} = \frac{OA_1}{A_1B_1} \).
Заменом података: \( \frac{3}{2} = \frac{4,5}{A_1B_1} \).
\( 3 \cdot A_1B_1 = 2 \cdot 4,5 \Rightarrow 3 \cdot A_1B_1 = 9 \Rightarrow A_1B_1 = 3 \text{ cm} \).
Заменом података: \( \frac{3}{2} = \frac{4,5}{A_1B_1} \).
\( 3 \cdot A_1B_1 = 2 \cdot 4,5 \Rightarrow 3 \cdot A_1B_1 = 9 \Rightarrow A_1B_1 = 3 \text{ cm} \).
Два троугла су слична (\( \sim \)) ако су углови једног троугла једнаки угловима другог троугла.
Код сличних троуглова, парови одговарајућих страница (странице наспрам једнаких углова) су пропорционални.
Ако је \( \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \), онда је:
\[ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k \]
Ознака: \( k \) је коефицијент сличности.
Ставови сличности троуглова:
- УУ: Ако су два угла једног троугла једнака двама угловима другог троугла.
- СУС: Ако су две странице једног троугла пропорционалне двема страницама другог троугла и углови захваћени тим страницама су једнаки.
- ССС: Ако су сваке две странице једног троугла пропорционалне одговарајућем пару страница другог троугла.
Сличност се користи за посредно мерење у природи (нпр. одређивање висине дрвета помоћу сенке, или растојања преко реке), као и за доказивање геометријских својстава.
Својство симетрале угла: Симетрала унутрашњег угла троугла дели наспрамну страницу на дужи које су пропорционалне другим двема страницама (\( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} \)).
Пропорције у правоуглом троуглу: Висина која одговара хипотенузи дели правоугли троугао на два мања троугла који су слични почетном. Из тога произилазе следеће формуле:
\[ h^2 = p \cdot q \]
\[ a^2 = q \cdot c \]
\[ b^2 = p \cdot c \]
(Где је \(c\) хипотенуза, \(a\) и \(b\) катете, \(h\) висина над хипотенузом, а \(p\) и \(q\) одсечци које висина гради на хипотенузи.)
Задаци за вежбање
Лак: На мапи чија је размера \( 1 : 50\ 000 \), растојање између два места износи \( 4 \text{ cm} \). Колико је стварно растојање у километрима?
Размера значи да је 1 cm на мапи једнак 50 000 cm у стварности.
Стварно растојање: \( 4 \cdot 50\ 000 = 200\ 000 \text{ cm} \).
Претварање у километре: \( 200\ 000 \text{ cm} = 2\ 000 \text{ m} = 2 \text{ km} \).
Одговор: Стварно растојање је 2 km.
Стварно растојање: \( 4 \cdot 50\ 000 = 200\ 000 \text{ cm} \).
Претварање у километре: \( 200\ 000 \text{ cm} = 2\ 000 \text{ m} = 2 \text{ km} \).
Одговор: Стварно растојање је 2 km.
Средњи: Штап дужине \( 2 \text{ m} \) баца сенку дугу \( 1,5 \text{ m} \). У исто време, зграда поред штапа баца сенку дугу \( 15 \text{ m} \). Израчунај висину зграде.
Сунчеви зраци падају под истим углом, па штап и зграда са својим сенкама формирају сличне правоугле троуглове.
Пропорција: \( \frac{\text{висина зграде}}{\text{сенка зграде}} = \frac{\text{висина штапа}}{\text{сенка штапа}} \)
\( \frac{x}{15} = \frac{2}{1,5} \)
\( 1,5x = 30 \Rightarrow x = 20 \)
Одговор: Висина зграде је 20 метара.
Пропорција: \( \frac{\text{висина зграде}}{\text{сенка зграде}} = \frac{\text{висина штапа}}{\text{сенка штапа}} \)
\( \frac{x}{15} = \frac{2}{1,5} \)
\( 1,5x = 30 \Rightarrow x = 20 \)
Одговор: Висина зграде је 20 метара.
Тежак: У правоуглом троуглу, висина спуштена на хипотенузу дели је на одсечке \( p = 4 \text{ cm} \) и \( q = 9 \text{ cm} \). Израчунај дужину те висине (\(h\)) и дужине катета (\(a\) и \(b\)).
Хипотенуза је \( c = p + q = 4 + 9 = 13 \text{ cm} \).
За висину: \( h^2 = p \cdot q = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow h = 6 \text{ cm} \).
За катете:
\( a^2 = q \cdot c = 9 \cdot 13 = 117 \Rightarrow a = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \text{ cm} \).
\( b^2 = p \cdot c = 4 \cdot 13 = 52 \Rightarrow b = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ cm} \).
За висину: \( h^2 = p \cdot q = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow h = 6 \text{ cm} \).
За катете:
\( a^2 = q \cdot c = 9 \cdot 13 = 117 \Rightarrow a = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \text{ cm} \).
\( b^2 = p \cdot c = 4 \cdot 13 = 52 \Rightarrow b = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ cm} \).
