Изабери решење задатка:
Задатак 1 (бесплатан)
Кратко решење
Бочне стране пирамида су једнакостранични троуглови странице \( 6\ \text{cm} \): \( P_{\triangle}=\frac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3 \). Има их \( 24 \), па је \( P = 24\cdot 9\sqrt3 = 216\sqrt3 \approx 374{,}12\ \text{cm}^2 \).
Висина пирамиде: \( R=3\sqrt2 \), \( H=\sqrt{6^2-(3\sqrt2)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2 \). \( V_{\text{пир}}=\frac13\cdot36\cdot3\sqrt2=36\sqrt2 \). Са коцком: \( V=216+6\cdot36\sqrt2=216+216\sqrt2=216(1+\sqrt2)\approx 521{,}47\ \text{cm}^3 \).
Детаљно решење
Опис тела
Коцка има ивицу \( a = 6\ \text{cm} \). На сваку од њених 6 страна залепљена је правилна четворострана пирамида чије су све ивице (и основне и бочне) једнаке ивици коцке, дакле једнаке \( 6\ \text{cm} \). Основе пирамида поклапају се са странама коцке, па оне нису на површини готовог тела. Спољашњу површину чине само бочне стране пирамида.Површина
Свака пирамида има 4 бочне стране. Пошто су и основна ивица и бочна ивица дужине \( a = 6\ \text{cm} \), свака бочна страна је једнакостранични троугао странице \( 6\ \text{cm} \). Њихова површина је: \[ P_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\ \text{cm}^2. \] Има их укупно \( 6 \cdot 4 = 24 \) (шест пирамида по четири стране), па је површина тела: \[ P = 24 \cdot 9\sqrt{3} = 216\sqrt{3}\ \text{cm}^2 \approx 374{,}12\ \text{cm}^2. \]Висина једне пирамиде
Основа пирамиде је квадрат странице \( a = 6\ \text{cm} \). Полудијагонала основе (растојање од центра квадрата до темена) једнака је полудијагонали квадрата: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\ \text{cm}. \] Бочна ивица је \( s = a = 6\ \text{cm} \). Из правоуглог троугла образованог висином \( H \), полудијагоналом \( R \) и бочном ивицом \( s \), по Питагориној теореми \( s^2 = H^2 + R^2 \): \[ H = \sqrt{s^2 - R^2} = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 18} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\ \text{cm}. \]Запремина
Запремина коцке: \[ V_{\text{коцке}} = a^3 = 6^3 = 216\ \text{cm}^3. \] Запремина једне пирамиде (основа \( B = a^2 = 36\ \text{cm}^2 \), висина \( H = 3\sqrt{2}\ \text{cm} \)): \[ V_{\text{пир}} = \frac{1}{3}\,B\cdot H = \frac{1}{3}\cdot 36 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\ \text{cm}^3. \] Свих шест пирамида: \[ 6\,V_{\text{пир}} = 6 \cdot 36\sqrt{2} = 216\sqrt{2}\ \text{cm}^3. \] Укупна запремина тела: \[ V = V_{\text{коцке}} + 6\,V_{\text{пир}} = 216 + 216\sqrt{2} = 216\left(1+\sqrt{2}\right)\ \text{cm}^3 \approx 521{,}47\ \text{cm}^3. \]Напомена
Пошто је висина сваке пирамиде \( H = 3\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 4{,}24\ \text{cm} \), што је веће од половине ивице коцке \( \left(\tfrac{a}{2}=3\ \text{cm}\right) \), суседне бочне стране двеју пирамида нису у истој равни, па тело задржава свих 24 троугаоних страна.Кратак запис решења:
\( P = 216\sqrt{3}\ \text{cm}^2 \approx 374{,}12\ \text{cm}^2 \); \( V = 216(1+\sqrt{2})\ \text{cm}^3 \approx 521{,}47\ \text{cm}^3 \).
