Најважније из лекције
Праве: \( p \perp q \) значи да се секу под углом од \( 90^\circ \). Растојање тачке од праве је дужина нормале спуштене из тачке на праву.
Права и раван: Права је нормална на раван ако је нормална на било које две праве у тој равни које се секу у тачки продора.
Равни: \( \alpha \perp \beta \) ако нормале у обе равни подигнуте у истој тачки на пресечној правој граде прав угао.
Растојање између тачака у ортогоналним равнима: Рачуна се узастопном применом Питагорине теореме: \( AB = \sqrt{a^2 + d^2 + b^2} \).
Права и раван: Права је нормална на раван ако је нормална на било које две праве у тој равни које се секу у тачки продора.
Равни: \( \alpha \perp \beta \) ако нормале у обе равни подигнуте у истој тачки на пресечној правој граде прав угао.
Растојање између тачака у ортогоналним равнима: Рачуна се узастопном применом Питагорине теореме: \( AB = \sqrt{a^2 + d^2 + b^2} \).
Ако се две праве секу под правим углом (\(90^\circ\)), кажемо да су нормалне или ортогоналне.
Да је права \(p\) нормална на праву \(q\) записујемо као: \( p \perp q \).
Ако се две праве секу, али не под правим углом, по договору се оштар угао узима за угао под којим се те праве секу.
Растојање између тачке \( P \) и праве \( p \) (када \( P \notin p \)) јесте дужина дужи \( PP' \), где је \( P' \) подножје нормале конструисане из тачке \( P \) на праву \( p \).
Права која сече раван нормална је на ту раван уколико је нормална на сваку њену праву која садржи тачку продора.
Ознака да је права \( n \) нормална на раван \( \rho \) је \( n \perp \rho \).
Ако је нека права нормална на двема правама равни које садрже тачку продора, онда је нормална и на ту раван (и на све остале праве у тој равни које пролазе кроз ту тачку).
Права која је нормална на само једну праву равни не мора бити нормална на ту раван.
Ако се две равни \( \alpha \) и \( \beta \) секу по правој \( p \), угао између њих одређујемо тако што у некој тачки на правој \( p \) конструишемо нормале у обема равнима. Угао између тих нормала представља угао под којим се равни секу.
Ако је тај угао прав, кажемо да су равни нормалне (ортогоналне) и пишемо \( \alpha \perp \beta \).
Растојање између тачака у две нормалне равни
Ако су равни \( \pi \) и \( \rho \) нормалне и секу се по правој \( p \), тачка \( A \in \pi \), тачка \( B \in \rho \), а \( O_1 \) и \( O_2 \) су подножја нормала из \( A \) и \( B \) на праву \( p \), растојање \( AB \) се рачуна по формули:
\[ AB = \sqrt{a^2 + d^2 + b^2} \]
где је \( AO_1 = a \), \( BO_2 = b \) и \( O_1O_2 = d \).
Ако је \( AO_1 = 3\text{ cm} \), \( BO_2 = \sqrt{2}\text{ cm} \) и \( O_1O_2 = 1\text{ cm} \), онда је растојање између тачака \( A \) и \( B \):
\[ AB = \sqrt{3^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 1 + 2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\text{ cm}. \]
За сваку праву и сваку раван, ако права није нормална на раван, постоји само једна раван која садржи ту праву и нормална је на дату раван.
За сваку тачку и сваку раван постоји бесконачно много равни које садрже ту тачку и нормалне су на дату раван.
Ако је права нормална на раван, онда постоји бесконачно много равни које садрже ту праву и нормалне су на дату раван.
За сваку тачку и сваку раван постоји само једна права која садржи ту тачку и нормална је на дату раван.
Задаци за вежбање
Лак: Права \( n \) продире кроз раван \( \alpha \) у тачки \( M \) и нормална је на неку праву \( p \) која се налази у равни \( \alpha \) и пролази кроз \( M \). Можемо ли са сигурношћу тврдити да је права \( n \) нормална на раван \( \alpha \)?
Не. Да бисмо са сигурношћу тврдили да је права \( n \) нормална на раван \( \alpha \), она мора бити нормална на најмање две праве у тој равни које пролазе кроз тачку продора.
Средњи: Равни \( \alpha \) и \( \beta \) су нормалне и секу се по правој \( p \). Тачка \( M \) припада равни \( \alpha \), а тачка \( N \) равни \( \beta \). Подножја нормала из ових тачака на пресечну праву \( p \) су тачке \( M_1 \) и \( N_1 \). Израчунај растојање између тачака \( M \) и \( N \) ако је познато да је \( MM_1 = 4\text{ cm} \), \( NN_1 = 3\text{ cm} \) и \( M_1N_1 = 12\text{ cm} \).
Користимо формулу за растојање у нормалним равнима изведену помоћу Питагорине теореме:
\[ MN = \sqrt{a^2 + d^2 + b^2} \]
Овде је \( a = MM_1 = 4\text{ cm} \), \( b = NN_1 = 3\text{ cm} \) и \( d = M_1N_1 = 12\text{ cm} \).
\[ MN = \sqrt{4^2 + 12^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 144 + 9} = \sqrt{169} = 13\text{ cm} \]
Тежак: Дате су тачка \( A \) и раван \( \pi \). Колико постоји правих, а колико равни које садрже тачку \( A \) и нормалне су на раван \( \pi \)?
На основу просторних својстава:
- Постоји тачно једна права која садржи тачку \( A \) и нормална је на раван \( \pi \).
- Постоји бесконачно много равни које садрже тачку \( A \) и нормалне су на раван \( \pi \). (Све оне пролазе кроз ону једну праву која је нормална на \( \pi \) из тачке \( A \)).
