III.7. На Крају Поглавља

Решење: а) Решавање једначине \( \dfrac{x-y}{2} + \dfrac{x+y}{3} = 1 \) Обе стране множимо најмањим заједничким садржаоцем именилаца \( 2 \) и \( 3 \), тј. бројем \( 6 \): \[ 6 \cdot \frac{x-y}{2} + 6 \cdot \frac{x+y}{3} = 6 \cdot 1 \] \[ 3(x-y) + 2(x+y) = 6 \] Применом дистрибутивног закона и груписањем сличних чланова добијамо: \[ 3x - 3y + 2x + 2y = 6 \] \[ 5x - y = 6 \] Додавањем \( y \) на обе стране, а затим дељењем са \( 5 \) (пошто је \( 5 \neq 0 \)), изражавамо \( x \): \[ 5x = 6 + y \quad\Rightarrow\quad x = \frac{6+y}{5} \] Провера: за \( x = \dfrac{6+y}{5} \) имамо \( x-y = \dfrac{6-4y}{5} \) и \( x+y = \dfrac{6+6y}{5} \), па је \( \dfrac{x-y}{2} + \dfrac{x+y}{3} = \dfrac{3-2y}{5} + \dfrac{2+2y}{5} = \dfrac{5}{5} = 1 \). ✓ б) Решавање једначине \( \dfrac{x-y}{2} + y - 1 = x + y \) Одузимањем \( y \) од обе стране добијамо: \[ \frac{x-y}{2} - 1 = x \] Обе стране множимо са \( 2 \): \[ x - y - 2 = 2x \] Одузимањем \( x \) од обе стране изражавамо \( x \): \[ -y - 2 = x \quad\Rightarrow\quad x = -y - 2 \] Провера: за \( x = -y - 2 \) лева страна је \( \dfrac{(-y-2)-y}{2} + y - 1 = \dfrac{-2y-2}{2} + y - 1 = (-y-1) + y - 1 = -2 \), а десна страна је \( x + y = (-y-2) + y = -2 \). Обе стране су једнаке. ✓