Најважније из лекције
- Права призма је тело са две паралелне и подударне основе и бочним странама које су правоугаоници.
- Ако су у основи правилни многоуглови, призма је правилна. Ако су јој све ивице једнаке, онда је једнакоивична.
- Висина праве призме једнака је дужини њене бочне ивице.
- Дијагонала призме (\( D \)) представља хипотенузу правоуглог троугла чије су катете дијагонала основе (\( d \)) и висина призме (\( H \)). Рачуна се по формули \( D^2 = d^2 + H^2 \).
- Дијагонала квадра: \( D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \); Дијагонала коцке: \( D = a\sqrt{3} \).
Права призма је геометријско тело ограничено са два подударна многоугла који се налазе у паралелним равнима и правоугаоницима који спајају одговарајуће странице тих многоуглова.
Основе (или базе) су паралелни и подударни многоуглови.
Бочне стране су правоугаоници који чине омотач призме.
Странице основа се називају основне ивице, док су остале ивице бочне ивице. Дужина бочне ивице код праве призме представља висину призме.
Призме добијају име према многоуглу који се налази у основи (нпр. тространа, четворострана, петострана призма).
Правилна призма је она призма чије су основе правилни многоуглови (једнакостранични троугао, квадрат, правилан шестоугао итд.).
Једнакоивична призма има све ивице (и основне и бочне) међусобно једнаке. Њене бочне стране су квадрати.
Паралелепипед је четворострана призма чије су основе паралелограми.
Квадар је паралелепипед чије су основе правоугаоници. Коцка је специјалан случај квадра коме су све ивице једнаке.
Дијагонала призме (\( D \)) је дуж која спаја два темена призме, а која не припада ниједној њеној страни (ни основи ни бочној страни).
Тростране призме немају дијагонале! Број различитих дијагонала призме зависи од броја различитих дијагонала њене основе.
Дијагонала квадра са ивицама \( a \), \( b \) и \( c \):
\[ D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]
Дијагонала коцке са ивицом \( a \):
\[ D = a\sqrt{3} \]
Код било које праве призме, просторна дијагонала се рачуна применом Питагорине теореме на правоугли троугао који чине:
дијагонала основе (\( d \)), висина призме (\( H \)) и сама дијагонала призме (\( D \)).
\[ D^2 = d^2 + H^2 \]
Дијагонални пресек је пресек призме и равни која садржи дијагоналу призме (најчешће одређен паром паралелних бочних ивица и дијагоналама основа).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Израчунај дијагоналу коцке чија је основна ивица \( a = 6 \text{ cm} \).
Користимо формулу за дијагоналу коцке: \( D = a\sqrt{3} \).
Заменом вредности добијамо: \( D = 6\sqrt{3} \text{ cm} \).
Заменом вредности добијамо: \( D = 6\sqrt{3} \text{ cm} \).
Средњи ниво: Одреди дужину дијагонале квадра чије су ивице \( a = 2 \text{ cm} \), \( b = 3 \text{ cm} \) и \( c = 6 \text{ cm} \).
Користимо формулу за дијагоналу квадра: \( D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \).
\( D = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} \)
\( D = \sqrt{4 + 9 + 36} \)
\( D = \sqrt{49} \)
\( D = 7 \text{ cm} \)
\( D = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} \)
\( D = \sqrt{4 + 9 + 36} \)
\( D = \sqrt{49} \)
\( D = 7 \text{ cm} \)
Тешки ниво: Правилна четворострана призма има висину \( H = 12 \text{ cm} \) и дијагоналу основе \( d = 5 \text{ cm} \). Израчунај просторну дијагоналу те призме (\( D \)), а затим израчунај њену основну ивицу (\( a \)).
1. Просторну дијагоналу рачунамо применом Питагорине теореме на троугао који чине \( D \), \( d \) и \( H \):
\( D^2 = d^2 + H^2 \)
\( D^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)
\( D = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \).
2. Пошто је призма правилна четворострана, у основи је квадрат. Дијагонала квадрата се рачуна као \( d = a\sqrt{2} \):
\( 5 = a\sqrt{2} \)
\( a = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ cm} \).
\( D^2 = d^2 + H^2 \)
\( D^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)
\( D = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \).
2. Пошто је призма правилна четворострана, у основи је квадрат. Дијагонала квадрата се рачуна као \( d = a\sqrt{2} \):
\( 5 = a\sqrt{2} \)
\( a = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ cm} \).
