Најважније из лекције
- Пирамида је тело одређено многоуглом (основа) и тачком ван његове равни (врх).
- Правилна пирамида има за основу правилан многоугао, а њене бочне стране су подударни једнакокраки троуглови.
- Апотема (\(h\)) је висина бочне стране правилне пирамиде.
- Везе између елемената налазе се применом Питагорине теореме на карактеристичне правоугле троуглове унутар пирамиде: \( s^2 = R_o^2 + H^2 \) и \( h^2 = r_u^2 + H^2 \).
Тело ограничено неким многоуглом и троугловима које образују његове странице са уоченом тачком ван равни тог многоугла назива се пирамида.
Многоугао представља основу или базу пирамиде.
Сваки троугао који образује страница многоугла са уоченом тачком назива се бочна страна.
Уочена тачка ван равни основе назива се врх пирамиде.
- Основне ивице: Странице основе пирамиде.
- Бочне ивице: Остале ивице које спајају темена основе са врхом пирамиде.
- Висина пирамиде (\(H\)): Растојање врха пирамиде од равни основе (дужина нормале спуштене из врха на раван основе).
Пирамида је правилна ако је њена основа правилан многоугао и ако се ортогонална пројекција врха на раван основе поклапа са центром тог многоугла.
Бочне стране правилне пирамиде су међусобно подударни једнакокраки троуглови.
Висина бочне стране правилне пирамиде назива се апотема (\(h\)). Пошто су све бочне стране подударне, следи да су и њихове висине (апотеме) међусобно подударне.
Теорема о три нормале: Чињеница да се подножје апотеме на неку основну ивицу поклапа са подножјем нормале из центра основе на ту ивицу јесте последица ове теореме.
Применом Питагорине теореме на карактеристичне пресеке пирамиде, добијамо везу између основне ивице (\(a\)), бочне ивице (\(s\)), висине пирамиде (\(H\)) и апотеме (\(h\)).
Пресек пирамиде који приказује два правоугла троугла: први са катетама H и Ro (полупречник описаног круга) чија је хипотенуза бочна ивица s; други са катетама H и ru (полупречник уписаног круга) чија је хипотенуза апотема h.
За бочну ивицу (\(s\)) важи:
\[ s^2 = R_o^2 + H^2 \]
За апотему (\(h\)) важи:
\[ h^2 = r_u^2 + H^2 \]
(\(R_o\) је полупречник описаног, а \(r_u\) полупречник уписаног круга основе)
За најчешће правилне пирамиде те формуле изгледају овако:
| Врста правилне пирамиде | Веза за бочну ивицу (\(s\)) | Веза за апотему (\(h\)) |
|---|---|---|
| Тространа | \( s^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{3} a \right)^2 + H^2 \) | \( h^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{6} a \right)^2 + H^2 \) |
| Четворострана | \( s^2 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} a \right)^2 + H^2 \) | \( h^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + H^2 \) |
| Шестострана | \( s^2 = a^2 + H^2 \) | \( h^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a \right)^2 + H^2 \) |
Када је основа пирамиде правоугаоник страница \(a\) и \(b\), а подножје висине пресек његових дијагонала (\(d\)), бочне стране нису све међусобно подударне. Подударне су само оне које одређују наспрамне ивице основе. Зато постоје две различите апотеме: \(h_a\) и \(h_b\).
Бочна ивица (\(s\)):
\[ s^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2 + H^2 = \frac{a^2 + b^2}{4} + H^2 \]
Апотеме (\(h_a\) и \(h_b\)):
\[ h_a^2 = \left( \frac{b}{2} \right)^2 + H^2 \quad \text{и} \quad h_b^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + H^2 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Одреди апотему правилне четворостране пирамиде ако је њена основна ивица \(a = 6 \text{ cm}\), а висина \(H = 4 \text{ cm}\).
Код правилне четворостране пирамиде важи веза између апотеме, висине и основне ивице:
\[ h^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + H^2 \]
Замењујемо познате вредности:
\[ h^2 = \left( \frac{6}{2} \right)^2 + 4^2 \]
\[ h^2 = 3^2 + 16 \]
\[ h^2 = 9 + 16 = 25 \]
\[ h = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]
Задатак 2 (Средњи ниво): Одреди основну ивицу правилне шестостране пирамиде ако је њена висина \(H = 4 \text{ cm}\), а апотема \(h = 5 \text{ cm}\).
Код правилне шестостране пирамиде важи:
\[ h^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a \right)^2 + H^2 \]
Замењујемо познате вредности:
\[ 5^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a \right)^2 + 4^2 \]
\[ 25 = \frac{3}{4} a^2 + 16 \]
\[ \frac{3}{4} a^2 = 25 - 16 \]
\[ \frac{3}{4} a^2 = 9 \]
\[ 3 a^2 = 36 \implies a^2 = 12 \]
\[ a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \]
Задатак 3 (Тежи ниво): Основа пирамиде је правоугаоник страница \(a = 6 \text{ cm}\) и \(b = 8 \text{ cm}\). Висина пирамиде је \(H = 12 \text{ cm}\), а њено подножје је пресек дијагонала основе. Одреди бочну ивицу \(s\) и обе висине бочних страна (апотеме \(h_a\) и \(h_b\)).
Прво рачунамо бочну ивицу \(s\). Потребна нам је дијагонала основе \(d\):
\[ d^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies d = 10 \text{ cm} \]
\[ s^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2 + H^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]
\[ s = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \]
Затим рачунамо апотему \(h_a\) (висина бочне стране над ивицом \(a\)):
\[ h_a^2 = \left( \frac{b}{2} \right)^2 + H^2 = \left( \frac{8}{2} \right)^2 + 12^2 = 4^2 + 144 = 16 + 144 = 160 \]
\[ h_a = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \text{ cm} \]
На крају рачунамо апотему \(h_b\) (висина бочне стране над ивицом \(b\)):
\[ h_b^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + H^2 = \left( \frac{6}{2} \right)^2 + 12^2 = 3^2 + 144 = 9 + 144 = 153 \]
\[ h_b = \sqrt{153} = 3\sqrt{17} \text{ cm} \]
