Најважније из лекције
- Општа формула: Површина сваке пирамиде рачуна се као збир површине основе и омотача: \( P = B + M \).
- Мрежа: Састоји се од једног многоугла (база) и онолико троуглова (омотач) колико база има страница.
- Апотема (\(h\)): Висина бочне стране пирамиде. Њено израчунавање је често неопходно за добијање површине омотача, а рачуна се применом Питагорине теореме на правоугли троугао који чине висина пирамиде (\(H\)), део основе и сама апотема.
Свака пирамида је ограничена многоуглом који називамо основом или базом (\(B\)) и троугловима чија унија представља омотач (\(M\)) пирамиде. Број троуглова у омотачу једнак је броју страница многоугла у основи.
Површина било које пирамиде (\(P\)) једнака је збиру површине њене основе (\(B\)) и површине њеног омотача (\(M\)):
\[ P = B + M \]
Основа ове пирамиде је квадрат странице \(a\), а омотач се састоји од четири подударна једнакокрака троугла чија је основица \(a\), а висина (апотема) \(h\).
База: \( B = a^2 \)
Омотач: \( M = 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 2ah \)
Површина: \( P = a^2 + 2ah \)
Веза између висине пирамиде (\(H\)) и апотеме (\(h\)): \[ h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Омотач: \( M = 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 2ah \)
Површина: \( P = a^2 + 2ah \)
Веза између висине пирамиде (\(H\)) и апотеме (\(h\)): \[ h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Пример: Израчунајмо површину правилне четворостране пирамиде ако је \(a = 6\text{ cm}\) и висина \(H = 4\text{ cm}\).
1. Површина базе: \( B = a^2 = 6^2 = 36\text{ cm}^2 \).
2. Рачунамо апотему применом Питагорине теореме: \( h = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\text{ cm} \).
3. Површина омотача: \( M = 4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} = 60\text{ cm}^2 \).
4. Укупна површина: \( P = B + M = 36 + 60 = 96\text{ cm}^2 \).
1. Површина базе: \( B = a^2 = 6^2 = 36\text{ cm}^2 \).
2. Рачунамо апотему применом Питагорине теореме: \( h = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\text{ cm} \).
3. Површина омотача: \( M = 4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} = 60\text{ cm}^2 \).
4. Укупна површина: \( P = B + M = 36 + 60 = 96\text{ cm}^2 \).
Код ових пирамида у основи се налази једнакостранични троугао, односно правилни шестоугао странице \(a\).
| Тип пирамиде | Површина основе (\(B\)) | Површина омотача (\(M\)) | Питагорина теорема за апотему (\(h\)) |
|---|---|---|---|
| Правилна тространа | \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) | \( 3 \cdot \frac{a \cdot h}{2} \) | \( h^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 \) |
| Правилна шестострана | \( 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) | \( 6 \cdot \frac{a \cdot h}{2} \) | \( h^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \) |
Када је у основи правоугаоник страница \(a\) и \(b\), омотач чине два пара различитих једнакокраких троуглова. Због тога постоје две различите висине бочних страна (апотеме): \(h_a\) и \(h_b\).
База: \( B = a \cdot b \)
Омотач: \( M = 2 \cdot \frac{a \cdot h_a}{2} + 2 \cdot \frac{b \cdot h_b}{2} = a \cdot h_a + b \cdot h_b \)
Питагорина теорема за апотеме: \[ h_a^2 = H^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \quad \text{и} \quad h_b^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Омотач: \( M = 2 \cdot \frac{a \cdot h_a}{2} + 2 \cdot \frac{b \cdot h_b}{2} = a \cdot h_a + b \cdot h_b \)
Питагорина теорема за апотеме: \[ h_a^2 = H^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \quad \text{и} \quad h_b^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Ако су странице основе \(a = 10\text{ cm}\), \(b = 18\text{ cm}\) и висина пирамиде \(H = 12\text{ cm}\), прво рачунамо апотеме:
\( h_a = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\text{ cm} \)
\( h_b = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ cm} \)
Затим базе и омотач: \( B = 10 \cdot 18 = 180\text{ cm}^2 \), \( M = 10 \cdot 15 + 18 \cdot 13 = 150 + 234 = 384\text{ cm}^2 \).
На крају: \( P = 180 + 384 = 564\text{ cm}^2 \).
\( h_a = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\text{ cm} \)
\( h_b = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ cm} \)
Затим базе и омотач: \( B = 10 \cdot 18 = 180\text{ cm}^2 \), \( M = 10 \cdot 15 + 18 \cdot 13 = 150 + 234 = 384\text{ cm}^2 \).
На крају: \( P = 180 + 384 = 564\text{ cm}^2 \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Површина основе неке пирамиде је \( B = 45\text{ cm}^2 \), а површина њеног омотача је \( M = 75\text{ cm}^2 \). Колика је укупна површина те пирамиде?
Користимо општу формулу за површину пирамиде:
\[ P = B + M \]
\[ P = 45 + 75 = 120\text{ cm}^2 \]
Задатак 2 (Средњи): Израчунај површину правилне четворостране пирамиде ако је њена основна ивица \( a = 8\text{ cm} \), а висина бочне стране (апотема) \( h = 10\text{ cm} \).
Површина основе (квадрата) је:
\[ B = a^2 = 8^2 = 64\text{ cm}^2 \]
Површина омотача (четири једнакокрака троугла) је:
\[ M = 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 2 \cdot a \cdot h = 2 \cdot 8 \cdot 10 = 160\text{ cm}^2 \]
Укупна површина је:
\[ P = B + M = 64 + 160 = 224\text{ cm}^2 \]
Задатак 3 (Тежак): Дата је правилна четворострана пирамида чија је основна ивица \( a = 12\text{ cm} \), а висина пирамиде \( H = 8\text{ cm} \). Израчунај њену површину.
Да бисмо израчунали површину омотача, прво морамо пронаћи апотему (\(h\)) помоћу Питагорине теореме:
\[ h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
\[ h^2 = 8^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 = 64 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \]
\[ h = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \]
Сада рачунамо површину базе и омотача:
\[ B = a^2 = 12^2 = 144\text{ cm}^2 \]
\[ M = 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 2 \cdot 12 \cdot 10 = 240\text{ cm}^2 \]
Укупна површина је:
\[ P = B + M = 144 + 240 = 384\text{ cm}^2 \]
