Изабери решење задатка:
Задатак 1 (бесплатан)
Кратко решење
Прву једначину помножимо са \( 8 \); користећи \( (x+y)^2-(x-y)^2=4xy \), чланови \( 8xy \) се потиру и добијамо \( x - y = -1 \).
Другу једначину помножимо са \( 6 \) и развијемо производе; чланови \( 2xy \) се потиру и добијамо \( 4x - 21y = -38 \).
Методом замене: \( x = y-1 \Rightarrow 4(y-1)-21y=-38 \Rightarrow -17y=-34 \Rightarrow y=2 \), па \( x=1 \).
Решење: \( x = 1, \; y = 2 \).
Детаљно решење
Средимо прву једначину
Прву једначину помножимо са \( 8 \) да бисмо ослободили имениоце: \[ (3x+7y+1) + 2(x+y)^2 = 2(x-y)^2 + 8xy + 8y + 2x. \] Искористимо познати идентитет \( (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy \), одакле следи \( 2(x+y)^2 - 2(x-y)^2 = 8xy \). Пребацимо квадратне чланове на леву страну: \[ 3x+7y+1 + \big[\,2(x+y)^2 - 2(x-y)^2\,\big] = 8xy + 8y + 2x, \] \[ 3x+7y+1 + 8xy = 8xy + 8y + 2x. \] Чланови \( 8xy \) се потиру, па остаје линеарна једначина: \[ 3x + 7y + 1 = 8y + 2x \;\Rightarrow\; x - y + 1 = 0 \;\Rightarrow\; x - y = -1. \]Средимо другу једначину
Другу једначину помножимо са \( 6 \) (најмањи заједнички садржалац именилаца \( 3, 3, 2, 6 \)): \[ 2(x+1)(2-y) = 2(3x+5y-26) + 3(3-x)(y+2) + xy. \] Развијемо сваки производ. Лева страна: \[ 2(x+1)(2-y) = 2(2x - xy + 2 - y) = 4x - 2xy - 2y + 4. \] Десна страна: \[ 2(3x+5y-26) = 6x + 10y - 52, \] \[ 3(3-x)(y+2) = 3(3y + 6 - xy - 2x) = 9y + 18 - 3xy - 6x. \] Сабирањем свих чланова десне стране (уз \( xy \)): \[ (6x - 6x) + (10y + 9y) + (-52 + 18) + (-3xy + xy) = 19y - 34 - 2xy. \] Изједначимо леву и десну страну: \[ 4x - 2xy - 2y + 4 = 19y - 34 - 2xy. \] Чланови \( -2xy \) се потиру, па остаје линеарна једначина: \[ 4x - 2y + 4 = 19y - 34 \;\Rightarrow\; 4x - 21y + 38 = 0 \;\Rightarrow\; 4x - 21y = -38. \]Реши добијени линеарни систем
Полазни систем се свео на систем две линеарне једначине са две непознате: \[ x - y = -1, \qquad 4x - 21y = -38. \] Применимо метод замене. Из прве једначине изразимо \( x \): \[ x = y - 1. \] Заменимо у другу једначину: \[ 4(y-1) - 21y = -38, \] \[ 4y - 4 - 21y = -38, \] \[ -17y = -34 \;\Rightarrow\; y = 2. \] Вратимо се на \( x = y - 1 = 2 - 1 = 1 \).Провера
За \( x = 1, \, y = 2 \): у првој једначини лева страна је \( \frac{3\cdot1+7\cdot2+1}{8} + \frac{(1+2)^2}{4} = \frac{18}{8} + \frac{9}{4} = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2} \), а десна \( \frac{(1-2)^2}{4} + 1\cdot2 + 2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 4 + \frac{1}{4} = \frac{9}{2} \) — једнако. Слично, друга једначина такође важи. Дакле решење је исправно. Решење система је \( x = 1, \; y = 2 \).Кратак запис решења:
\( x = 1, \; y = 2 \)
