Најважније из лекције
- Ваљак је ротационо тело одређено са две паралелне кружне основе полупречника \( r \) и висином \( H \).
- Ротацијом правоугаоника настаје ваљак; страница око које ротира је висина \(H\), а друга страница је полупречник \(r\).
- Осни пресек је правоугаоник са страницама \( 2r \) и \( H \). Његова површина је \( P_{op} = 2rH \).
- Површина ваљка: \( P = 2r^2\pi + 2r\pi H = 2r\pi(r + H) \)
- Запремина ваљка: \( V = B \cdot H = r^2\pi H \)
Прав ваљак је геометријско тело (обло тело) ограничено са два подударна круга који се налазе у паралелним равнима и делом цилиндричне површи између њих.
- Кругови се називају основе или базе ваљка.
- Део цилиндричне површи између равни основа назива се омотач ваљка.
- Растојање између равни основа назива се висина ваљка (\(H\)).
- Полупречник основе ваљка обележава се са \(r\).
Ваљак је ротационо тело. Настаје ротацијом правоугаоника око једне његове странице. Страница око које правоугаоник ротира представља висину ваљка (\(H\)), док друга страница представља полупречник основе (\(r\)).
Права која садржи центре основа ваљка назива се оса ваљка.
Осни пресек ваљка је пресек ваљка и равни која садржи осу ваљка. Сви осни пресеци једног ваљка су подударни.
Осни пресек ваљка је правоугаоник чија је једна страница једнака пречнику основе (\(2r\)), а друга страница је једнака висини ваљка (\(H\)). Површина осног пресека рачуна се као:
\[ P_{op} = 2r \cdot H \]
Да бисмо израчунали површину ваљка, посматрамо његову мрежу. Мрежа ваљка се састоји од два круга (основе) и једног правоугаоника (развијен омотач).
Површина основе (\(B\)) је површина круга, а површина омотача (\(M\)) је површина правоугаоника чије су странице висина ваљка (\(H\)) и обим основе (\(2r\pi\)).
Површина основе: \[ B = r^2\pi \]
Површина омотача: \[ M = 2r\pi H \]
Укупна површина ваљка (\(P = 2B + M\)):
\[ P = 2r^2\pi + 2r\pi H = 2r\pi(r + H) \]
Ако је полупречник основе \( r = 3 \text{ cm} \), а висина \( H = 5,5 \text{ cm} \), површина ваљка је:
\( P = 2 \cdot 3 \cdot \pi(3 + 5,5) = 6\pi \cdot 8,5 = 51\pi \text{ cm}^2 \).
Израчунај површину омотача ваљка чији је пречник основе \( 10 \text{ cm} \), а висина \( 8 \text{ cm} \).
Ако је пречник основе \( 2r = 10 \text{ cm} \), онда је полупречник \( r = 5 \text{ cm} \).
Формула за омотач је \( M = 2r\pi H \).
\( M = 2 \cdot 5 \cdot \pi \cdot 8 = 80\pi \text{ cm}^2 \).
Формула за омотач је \( M = 2r\pi H \).
\( M = 2 \cdot 5 \cdot \pi \cdot 8 = 80\pi \text{ cm}^2 \).
Као и код призме, запремина ваљка једнака је производу површине његове основе и висине.
Запремина ваљка (\(V = B \cdot H\)):
\[ V = r^2\pi H \]
Ако је полупречник основе \( r = 3 \text{ cm} \), а висина \( H = 5,5 \text{ cm} \), запремина ваљка је:
\( V = 3^2\pi \cdot 5,5 = 9\pi \cdot 5,5 = 49,5\pi \text{ cm}^3 \).
Правоугаоник са страницама \( 4 \text{ cm} \) и \( 6 \text{ cm} \) ротира око своје дуже странице. Израчунај запремину тако насталог ваљка.
Пошто правоугаоник ротира око дуже странице, та страница постаје висина ваљка: \( H = 6 \text{ cm} \).
Краћа страница постаје полупречник основе: \( r = 4 \text{ cm} \).
\( V = r^2\pi H = 4^2\pi \cdot 6 = 16\pi \cdot 6 = 96\pi \text{ cm}^3 \).
Краћа страница постаје полупречник основе: \( r = 4 \text{ cm} \).
\( V = r^2\pi H = 4^2\pi \cdot 6 = 16\pi \cdot 6 = 96\pi \text{ cm}^3 \).
Задаци за вежбање
Лак: Полупречник основе ваљка је \( r = 5 \text{ cm} \), а висина је \( H = 10 \text{ cm} \). Израчунај површину осног пресека овог ваљка.
Осни пресек је правоугаоник са страницама \( 2r \) и \( H \).
\( 2r = 2 \cdot 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm} \).
\( P_{op} = 2r \cdot H = 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2 \).
\( 2r = 2 \cdot 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm} \).
\( P_{op} = 2r \cdot H = 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2 \).
Средњи: Израчунај висину ваљка ако је његова запремина \( V = 128\pi \text{ cm}^3 \), а пречник основе је \( 8 \text{ cm} \).
Ако је пречник \( 2r = 8 \text{ cm} \), онда је полупречник \( r = 4 \text{ cm} \).
Користимо формулу за запремину: \( V = r^2\pi H \).
\( 128\pi = 4^2\pi \cdot H \)
\( 128\pi = 16\pi \cdot H \)
\( H = 128\pi : 16\pi \)
\( H = 8 \text{ cm} \).
Користимо формулу за запремину: \( V = r^2\pi H \).
\( 128\pi = 4^2\pi \cdot H \)
\( 128\pi = 16\pi \cdot H \)
\( H = 128\pi : 16\pi \)
\( H = 8 \text{ cm} \).
Тежак: Површина ваљка је \( P = 96\pi \text{ cm}^2 \), а висина ваљка је двоструко већа од полупречника основе (\( H = 2r \)). Одреди запремину тог ваљка.
Користимо формулу за површину ваљка: \( P = 2r\pi(r + H) \).
Пошто је \( H = 2r \): \( 96\pi = 2r\pi(r + 2r) = 2r\pi \cdot 3r = 6r^2\pi \).
Делимо обе стране са \( 6\pi \): \( r^2 = 16 \Rightarrow r = 4 \text{ cm} \).
Тада је \( H = 2r = 8 \text{ cm} \).
Запремина: \( V = r^2\pi H = 4^2\pi \cdot 8 = 16\pi \cdot 8 = 128\pi \text{ cm}^3 \).
Одговор: Запремина ваљка је \( 128\pi \text{ cm}^3 \).
Пошто је \( H = 2r \): \( 96\pi = 2r\pi(r + 2r) = 2r\pi \cdot 3r = 6r^2\pi \).
Делимо обе стране са \( 6\pi \): \( r^2 = 16 \Rightarrow r = 4 \text{ cm} \).
Тада је \( H = 2r = 8 \text{ cm} \).
Запремина: \( V = r^2\pi H = 4^2\pi \cdot 8 = 16\pi \cdot 8 = 128\pi \text{ cm}^3 \).
Одговор: Запремина ваљка је \( 128\pi \text{ cm}^3 \).
