Најважније из лекције
- Питагорина теорема за купу: Изводница (\(s\)), висина (\(H\)) и полупречник (\(r\)) чине правоугли троугао: \( s^2 = H^2 + r^2 \).
- Осни пресек: Једнакокраки троугао површине \( P_{op} = r \cdot H \).
- Површина купе: \( P = r\pi(r + s) \) (збир површине кружне основе и омотача који је облика кружног исечка).
- Запремина купе: \( V = \frac{1}{3}r^2\pi H \) (трећина запремине ваљка истих димензија).
Тело ограничено кругом и делом конусне површи назива се купа. Настаје ротацијом правоуглог троугла око једне своје катете.
Основа (база) купе: Круг који ограничава купу одоздо. Његов полупречник обележавамо са \(r\).
Омотач купе: Део конусне површи који ограничава тело.
Врх купе: Тачка \(S\) која се налази ван равни основе.
Висина купе (\(H\)): Растојање од врха купе до равни основе (катета око које ротира троугао).
Изводница купе (\(s\)): Дуж која спаја врх купе и било коју тачку на кружници основе. Све изводнице праве купе су међусобно једнаке.
Између изводнице, висине и полупречника основе постоји веза која се добија применом Питагорине теореме:
\[ s^2 = H^2 + r^2 \]
Права која садржи центар основе купе и њен врх назива се оса купе.
Осни пресек: Пресек купе и равни која садржи њену осу. Осни пресек праве купе је једнакокраки троугао чија је основица пречник основе (\(2r\)), а краци су једнаки изводници (\(s\)). Висина тог троугла једнака је висини купе (\(H\)).
Површина осног пресека:
\[ P_{op} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot H = r \cdot H \]
Ако се купа пресече равни која је паралелна основи, пресек је круг. За израчунавање елемената тог пресека користи се сличност правоуглих троуглова.
Површина купе је збир површине њене основе (\(B\)) и површине омотача (\(M\)).
Мрежу купе чине круг (основа) и кружни исечак (омотач) чији је полупречник једнак изводници \(s\), а дужина лука једнака обиму основе \(2r\pi\).
Површина основе: \( B = r^2\pi \)
Површина омотача: \( M = sr\pi \)
Површина купе: \[ P = B + M = r^2\pi + sr\pi = r\pi(r + s) \]
Површина омотача: \( M = sr\pi \)
Површина купе: \[ P = B + M = r^2\pi + sr\pi = r\pi(r + s) \]
Израчунај површину купе ако је полупречник основе \(r = 3 \text{ cm}\), а изводница \(s = 5 \text{ cm}\).
Користимо формулу за површину:
\( P = r\pi(r + s) \)
\( P = 3\pi(3 + 5) = 3\pi \cdot 8 = 24\pi \text{ cm}^2 \)
\( P = r\pi(r + s) \)
\( P = 3\pi(3 + 5) = 3\pi \cdot 8 = 24\pi \text{ cm}^2 \)
Запремина купе једнака је трећини запремине ваљка чија је основа подударна основи купе, а висина једнака њеној висини.
Запремина купе:
\[ V = \frac{1}{3}B \cdot H = \frac{1}{3}r^2\pi H \]
Одреди запремину купе чији је полупречник основе \(r = 6 \text{ cm}\), а висина \(H = 4 \text{ cm}\).
Користимо формулу за запремину:
\( V = \frac{1}{3}r^2\pi H \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 6^2\pi \cdot 4 \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 36\pi \cdot 4 = 12\pi \cdot 4 = 48\pi \text{ cm}^3 \)
\( V = \frac{1}{3}r^2\pi H \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 6^2\pi \cdot 4 \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 36\pi \cdot 4 = 12\pi \cdot 4 = 48\pi \text{ cm}^3 \)
Задаци за вежбање
Лак: Дата је купа чија је висина \(H = 12 \text{ cm}\) и полупречник основе \(r = 5 \text{ cm}\). Израчунај дужину изводнице \(s\).
Примењујемо Питагорину теорему:
\( s^2 = H^2 + r^2 \)
\( s^2 = 12^2 + 5^2 \)
\( s^2 = 144 + 25 = 169 \)
\( s = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \)
\( s^2 = H^2 + r^2 \)
\( s^2 = 12^2 + 5^2 \)
\( s^2 = 144 + 25 = 169 \)
\( s = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \)
Средњи: Правоугли троугао чије су катете \(a = 8 \text{ cm}\) и \(b = 6 \text{ cm}\) ротира око дуже катете. Израчунај површину тела које настаје том ротацијом.
Пошто троугао ротира око дуже катете (\(a = 8 \text{ cm}\)), та катета представља висину купе (\(H = 8 \text{ cm}\)), а краћа катета је полупречник основе (\(r = 6 \text{ cm}\)).
Прво рачунамо изводницу \(s\) (хипотенузу троугла):
\( s = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \)
Сада рачунамо површину:
\( P = r\pi(r + s) = 6\pi(6 + 10) = 6\pi \cdot 16 = 96\pi \text{ cm}^2 \)
Прво рачунамо изводницу \(s\) (хипотенузу троугла):
\( s = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \)
Сада рачунамо површину:
\( P = r\pi(r + s) = 6\pi(6 + 10) = 6\pi \cdot 16 = 96\pi \text{ cm}^2 \)
Тежак: Осни пресек купе је једнакостраничан троугао чија је површина \(9\sqrt{3} \text{ cm}^2\). Израчунај запремину те купе.
Осни пресек је једнакостраничан троугао, што значи да је основица \(2r\) једнака изводници \(s\) (\(2r = s = a\)), где је \(a\) страница троугла.
Површина једнакостраничног троугла је \(P_{op} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
\( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \text{ cm} \)
Дакле, \(2r = 6 \Rightarrow r = 3 \text{ cm}\), а изводница \(s = 6 \text{ cm}\).
Висина купе \(H\) је заправо висина овог једнакостраничног троугла: \(H = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm}\).
Запремина купе:
\( V = \frac{1}{3}r^2\pi H = \frac{1}{3} \cdot 3^2\pi \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 9\pi \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi \text{ cm}^3 \)
Површина једнакостраничног троугла је \(P_{op} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
\( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \text{ cm} \)
Дакле, \(2r = 6 \Rightarrow r = 3 \text{ cm}\), а изводница \(s = 6 \text{ cm}\).
Висина купе \(H\) је заправо висина овог једнакостраничног троугла: \(H = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm}\).
Запремина купе:
\( V = \frac{1}{3}r^2\pi H = \frac{1}{3} \cdot 3^2\pi \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 9\pi \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi \text{ cm}^3 \)
