VIII.4. На Крају Поглавља

Решење: Поставка Нека купа има висину \( H \) и полупречник основе \( r \). Површина основе купе је \( B = r^2\pi \). Раван \( \alpha \) паралелна је основи, па у пресеку са купом даје круг полупречника \( r_1 \). Пресек, врх купе и цела купа образују сличне конфигурације: мала купа (од врха до пресека) слична је целој купи. Ако је растојање пресека од врха купе једнако \( x \), онда из сличности важи \[ \frac{r_1}{r} = \frac{x}{H}. \] Површина пресека је \( P_{\alpha} = r_1^2\pi \), па је тражени однос \[ \frac{P_{\alpha}}{B} = \frac{r_1^2\pi}{r^2\pi} = \left(\frac{r_1}{r}\right)^2 = \left(\frac{x}{H}\right)^2. \] а) Растојање пресека од врха купе је \( \dfrac{H}{3} \) Овде је \( x = \dfrac{H}{3} \), па је \[ \frac{P_{\alpha}}{B} = \left(\frac{\tfrac{H}{3}}{H}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}. \] б) Растојање пресека од равни основе купе је \( \dfrac{H}{3} \) Ако је пресек удаљен \( \dfrac{H}{3} \) од основе, онда је удаљен од врха \[ x = H - \frac{H}{3} = \frac{2H}{3}. \] Тада је \[ \frac{P_{\alpha}}{B} = \left(\frac{\tfrac{2H}{3}}{H}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}. \] Закључак Однос површине пресека и површине основе купе је: а) \( \dfrac{1}{9} \); б) \( \dfrac{4}{9} \).