Најважније из лекције
Писмено множење: Вишецифрени број се множи једноцифреним почевши од јединица здесна налево, додајући десетице преноса следећем месном реду (нпр. \( 1\,340 \cdot 5 = 6\,700 \)).
Множење округлих бројева: Множи се значајни део, а нуле се дописују: \( 6 \cdot 300 = 1\,800 \).
Практична примена: Укупна цена или пут добијају се производом јединичне вредности и количине/времена: \( 3\,655 \cdot 3 = 10\,965\text{ дин} \).
Целина и разломци: Свака целина подељена на \( n \) делова чини збир облика \( \frac{a}{n} + \frac{b}{n} + \dots = \frac{n}{n} = 1 \).
Множење округлих бројева: Множи се значајни део, а нуле се дописују: \( 6 \cdot 300 = 1\,800 \).
Практична примена: Укупна цена или пут добијају се производом јединичне вредности и количине/времена: \( 3\,655 \cdot 3 = 10\,965\text{ дин} \).
Целина и разломци: Свака целина подељена на \( n \) делова чини збир облика \( \frac{a}{n} + \frac{b}{n} + \dots = \frac{n}{n} = 1 \).
Вишецифрени број множимо једноцифреним тако што помножимо сваку цифру вишецифреног броја, почевши од јединица најнижег месног реда (здесна налево).
Ако је производ цифара на једном месном месту већи од 9, цифру јединица тог производа записујемо, а цифру десетица преносимо и додајемо производу следећег месног места.
Када вишецифрени број има нуле на крају, множење можемо олакшати тако што помножимо број без крајњих нула, па на крају производа припишемо онолико нула колико их је било у чиниоцу:
\[ 6 \cdot 3 = 18 \implies 6 \cdot 300 = 1\,800 \]
Множимо јединице вишецифреног броја и записујемо резултат на место јединица (уз евентуални пренос десетица).
Множимо десетице, додајемо пренос из претходног корака и записујемо цифру десетица.
Поступак понављамо за стотине, хиљаде и све преостале месне редове.
Писмено множење броја \( 1\,340 \) бројем \( 5 \):
\[ 1\,340 \cdot 5 = (1\,000 \cdot 5) + (300 \cdot 5) + (40 \cdot 5) = 5\,000 + 1\,500 + 200 = 6\,700 \]
Краћи писмени поступак:
\( 0 \cdot 5 = 0 \) (пишемо 0)
\( 4 \cdot 5 = 20 \) (пишемо 0, 2 памтимо)
\( 3 \cdot 5 = 15 \), уз пренос \( 15 + 2 = 17 \) (пишемо 7, 1 памтимо)
\( 1 \cdot 5 = 5 \), уз пренос \( 5 + 1 = 6 \) (пишемо 6)
Резултат је \( 6\,700 \).
\( 0 \cdot 5 = 0 \) (пишемо 0)
\( 4 \cdot 5 = 20 \) (пишемо 0, 2 памтимо)
\( 3 \cdot 5 = 15 \), уз пренос \( 15 + 2 = 17 \) (пишемо 7, 1 памтимо)
\( 1 \cdot 5 = 5 \), уз пренос \( 5 + 1 = 6 \) (пишемо 6)
Резултат је \( 6\,700 \).
Израчунај производ бројева \( 12\,131 \) и \( 2 \).
Множимо здесна налево без преноса:
\[ 12\,131 \cdot 2 = 24\,262 \]
Множење користимо за рачунање укупне цене више истих артикала, укупног пута пређеног сталном брзином или укупних трошкова у одређеном временском периоду.
\[ \text{Укупна цена} = \text{цена једног артикла} \cdot \text{количина} \]
\[ \text{Пређени пут} = \text{дужина пута за } 1\text{ h} \cdot \text{број сати} \]
Ако воз сваког сата пређе \( 105\text{ km} \), за \( 3\text{ h} \) прећи ће:
\[ 105 \cdot 3 = 315\text{ km} \]
Пар чизама кошта \( 3\,655 \) динара. Колико коштају 2 таква пара чизама?
\[ 3\,655 \cdot 2 = 7\,310\text{ динара} \]
Ако је цело тело или геометријски облик састављен од \( n \) једнаких делова (на пример, коцкица), сваки део представља разломак \( \frac{1}{n} \).
Целина је једнака збиру свих својих делова. Збир разломака са једнаким имениоцима који представљају делове целине једнак је \( 1 \):
\[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} + \frac{c}{n} = \frac{a + b + c}{n} = \frac{n}{n} = 1 \]
Тело се састоји од укупно 6 једнаких коцкица: 1 је црвена, 3 су плаве и 2 су жуте.
Удео црвених коцкица је \( \frac{1}{6} \), плавих \( \frac{3}{6} \), а жутих \( \frac{2}{6} \).
Збир делова који чине цело тело записује се као: \[ \frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
Удео црвених коцкица је \( \frac{1}{6} \), плавих \( \frac{3}{6} \), а жутих \( \frac{2}{6} \).
Збир делова који чине цело тело записује се као: \[ \frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
Фигура је састављена од 8 једнаких коцкица, од којих су 3 обојене зелено, а 5 жуто. Запиши збир разломака који чине целу фигуру.
Фигура има 8 делова, па су удели \( \frac{3}{8} \) и \( \frac{5}{8} \):
\[ \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај производе користећи правило о множењу декадних јединица и нула:
а) \( 7 \cdot 400 \)
б) \( 317\,317 \cdot 2 \)
а) \( 7 \cdot 400 \)
б) \( 317\,317 \cdot 2 \)
а) Пошто је \( 7 \cdot 4 = 28 \), следи:
\[ 7 \cdot 400 = 2\,800 \]
б) Множимо сваку цифру са 2 без преноса:
\[ 317\,317 \cdot 2 = 634\,634 \]
Средњи задатак: Авион за сат времена прелети \( 460\text{ km} \). Колико километара ће прећи након 4 сата лета под истим условима?
Рачунамо производ пута по сату и броја сати:
\[ 460 \cdot 4 = (400 \cdot 4) + (60 \cdot 4) = 1\,600 + 240 = 1\,840\text{ km} \]
Одговор: Авион ће прећи \( 1\,840\text{ km} \).
Тежак задатак: Марко има буџет од \( 30\,000 \) динара за летовање од 10 дана. Дан боравка на Тари износи \( 3\,050 \) динара, а на Златару \( 2\,999 \) динара.
а) Израчунај трошкове за 10 дана боравка на Тари и на Златару.
б) На којој од ове две планине Марко може боравити 10 дана тако да не прекорачи свој буџет?
а) Израчунај трошкове за 10 дана боравка на Тари и на Златару.
б) На којој од ове две планине Марко може боравити 10 дана тако да не прекорачи свој буџет?
а) Множимо цену једног дана са бројем дана (10):
Тара: \( 3\,050 \cdot 10 = 30\,500\text{ динара} \)
Златар: \( 2\,999 \cdot 10 = 29\,990\text{ динара} \)
б) Поредимо са буџетом од \( 30\,000 \) динара:
\( 30\,500 > 30\,000 \) (Тара премашује буџет)
\( 29\,990 \le 30\,000 \) (Златар се уклапа у буџет)
Одговор: Марко може боравити 10 дана на Златару.
Тара: \( 3\,050 \cdot 10 = 30\,500\text{ динара} \)
Златар: \( 2\,999 \cdot 10 = 29\,990\text{ динара} \)
б) Поредимо са буџетом од \( 30\,000 \) динара:
\( 30\,500 > 30\,000 \) (Тара премашује буџет)
\( 29\,990 \le 30\,000 \) (Златар се уклапа у буџет)
Одговор: Марко може боравити 10 дана на Златару.
Тежак задатак: Тело се састоји од укупно 10 коцкица. Четири коцкице су беле, две су плаве, а преостале су црвене.
Одреди колико има црвених коцкица, а затим представи целу фигуру у облику збира разломака.
Одреди колико има црвених коцкица, а затим представи целу фигуру у облику збира разломака.
Број црвених коцкица је:
\[ 10 - (4 + 2) = 10 - 6 = 4 \]
Удели делова у целини од 10 коцкица су:
Беле коцкице: \( \frac{4}{10} \)
Плаве коцкице: \( \frac{2}{10} \)
Црвене коцкице: \( \frac{4}{10} \)
Збир свих делова чини једно цело: \[ \frac{4}{10} + \frac{2}{10} + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]
Беле коцкице: \( \frac{4}{10} \)
Плаве коцкице: \( \frac{2}{10} \)
Црвене коцкице: \( \frac{4}{10} \)
Збир свих делова чини једно цело: \[ \frac{4}{10} + \frac{2}{10} + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]
