Нацртај дуж $ AB $ и подели је на четири једнака дела.

Корак 1: Конструкција симетрале дужи $ AB $ Прво, нацртај једну дуж и означи њене крајеве са $ A $ и $ B $. Да бисмо дуж поделили на два једнака дела, потребно је да конструишемо њену симетралу. Узми шестар и отвори га тако да полупречник буде већи од половине дужи $ AB $. Постави иглу шестара у тачку $ A $ и опиши кружне лукове изнад и испод дужи. Затим, не мењајући отвор шестара, постави иглу у тачку $ B $ и пресеци претходно нацртане лукове. Кроз пресечне тачке лукова повуци прав...

1) Нацртај праву $ p $ и две тачке $ A $ и $ B $, са исте стране праве $ p $, тако да права $ AB $ није нормална на $ p $. 2) Конструиши тачку $ P $ праве $ p $ која је једнако удаљена од тачака $ A $ и $ B $. Упутство. Свака тачка симетрале дужи једнако је удаљена од крајева те...

Корак 1: Анализа задатка Задатак захтева да нађемо тачку $ P $ на правој $ p $ која је једнако удаљена од тачака $ A $ и $ B $. Кључно геометријско својство које користимо јесте да је **симетрала дужи** скуп свих тачака у равни које су једнако удаљене од крајева те дужи. Дакле, тачка $ P $ мора да припада симетрали дужи $ AB $, али и правој $ p $. Решење је пресек те симетрале и праве $ p $. Корак 2: Цртање почетних елемената Нацртај хоризонталну праву p. Изнад праве p обележи д...

Нацртај кружницу $ k(O, 2\text{ cm}) $ и на њој изабери једну тачку $ T $. Конструиши тангенту на кружницу $ k(O, 2\text{ cm}) $ у тачки $ T $. Напомена. Тангента је нормална на полупречник кружнице који одређује тачка додира.

Корак 1: Цртање кружнице и избор тачке додира За почетак ћемо означити тачку $ O $ која ће бити центар кружнице. Помоћу лењира ћемо одмерити отвор шестара од $ 2\text{ cm} $. Поставићемо иглу шестара у тачку $ O $ и нацртати кружницу $ k(O, 2\text{ cm}) $. На кружници ћемо изабрати произвољну тачку и обележити је са $ T $. Ова тачка ће бити тачка додира тангенте и кружнице. Корак 2: Цртање правца полупречника Користећи лењир, повући ћемо полуправу која полази из центра $ O $ и прола...

Нацртај праву $ t $ и тачку $ O $ која јој не припада. Конструиши кружницу са центром у тачки $ O $ тако да права $ t $ буде њена тангента.

Анализа задатка Да би права $ t $ била тангента кружнице са центром у тачки $ O $, она мора имати тачно једну заједничку тачку са том кружницом. Та тачка се назива тачка додира ($ T $). Према основном својству тангенте, она је увек нормална на полупречник који садржи тачку додира. То значи да је полупречник кружнице $ r $ једнак најкраћем растојању од центра $ O $ до праве $ t $. Стога, задатак се своди на конструкцију нормале из тачке $ O $ на праву $ t $. Подножје те нормале би...

Нацртај неки оштроугли троугао $ ABC $, а затим конструиши висину тог троугла из темена $ A $.

Корак 1: Анализа задатка Висина троугла је дуж која спаја теме троугла са подножјем нормале повучене из тог темена на праву којој припада наспрамна страница. Да бисмо конструисали висину из темена $ A $, потребно је да конструишемо нормалу из тачке $ A $ на праву одређену страницом $ BC $. Користићемо само лењир и шестар. Корак 2: Цртање почетних елемената Нацртај оштроугли троугао ABC (сви углови су мањи од 90 степени). Обележи темена са A, B и C. Корак 3: Одређивање помоћних тачака на...

Нацртај неки тупоугли троугао $ ABC $, а затим конструиши висине тог троугла из темена у којима су углови оштри.

Корак 1: Анализа задатка У тупоуглом троуглу, један угао је већи од $ 90^\circ $, док су преостала два угла оштра. Специфичност тупоуглог троугла јесте да се висине конструисане из темена оштрих углова налазе ван самог троугла. Да бисмо их конструисали, морамо прво продужити странице на које те висине падају. Висина је дуж која спаја теме са подножјем нормале повучене из тог темена на праву која садржи наспрамну страницу. Корак 2: Цртање почетног троугла Нацртај тупоугли троугао ABC тако да ј...

1) Нацртај праву $ p $ и на њој изабери неку тачку $ P $. 2) Конструиши нормалу $ n $ на праву $ p $ у тачки $ P $. Одреди тачке $ A $ и $ B $ праве $ n $ такве да је $ PA = PB = 2\text{ cm} $. 3) Конструиши праве $ a $ и $ b $, паралелне са $ p $, такве да важи $ A \in a $...

Корак 1: Цртање праве $ p $ и конструкција нормале $ n $ Нацртај хоризонталну праву $ p $ и на њој обележи тачку $ P $. Постави иглу шестара у $ P $ и опиши два мала лука који секу праву $ p $ са леве и десне стране тачке $ P $. Из те две нове тачке опиши веће лукове који се секу изнад праве $ p $. Повуци праву кроз тачку $ P $ и тај пресек; то је нормала $ n $. Прво цртамо праву $ p $ и на њој бирамо тачку $ P $. Да бисмо конструисали нормалу $ n $ у тачки $ P $ кори...

1) Нацртај праву $ p $ и тачку $ O $ која јој не припада. 2) Конструиши подножје $ P $ нормале из $ O $ на $ p $. 3) Конструиши тачку $ Q $ која је централносиметрична тачки $ P $ у односу на $ O $. 4) Конструиши праву $ q $ која је паралелна са $ p $ и садржи $ Q $. Да ли су п...

Корак 1: Постављање почетних елемената Нацртај једну хоризонталну праву $ p $ на средини листа. Изнад праве изабери произвољну тачку и обележи је са $ O $. За почетак задатка цртамо праву $ p $ и тачку $ O $ која не припада тој правој. Ови елементи су основа за све даље конструкције. Корак 2: Конструкција нормале из тачке $ O $ на праву $ p $ Постави иглу шестара у тачку $ O $ и нацртај лук који сече праву $ p $ у двема тачкама (означимо их са $ M $ и $ N $). Затим из тачака...

Конструиши угао од $ 45^\circ $ и угао од $ 135^\circ $.

Анализа задатка Да бисмо конструисали угао од $ 45^\circ $, прво морамо да га разложимо на познате углове које умемо да конструишемо помоћу шестара и лењира. Знамо да је: \[ 45^\circ = \frac{90^\circ}{2} \] Ово значи да ћемо прво конструисати прав угао ($ 90^\circ $), а затим ћемо га поделити на два једнака дела конструисањем његове симетрале. За угао од $ 135^\circ $ можемо уочити следеће: \[ 135^\circ = 90^\circ + 45^\circ \] Ово нам говори да угао од $ 135^\circ $ можемо добити тако...

Конструиши угао од $ 15^\circ $.

Анализа задатка Да бисмо конструисали угао од $ 15^\circ $, потребно је да га добијемо узастопним дељењем основног угла који умемо да конструишемо. Пошто је основна мера угла коју добијамо помоћу једнакостраничног троугла $ 60^\circ $, користићемо следећу везу: \[ 15^\circ = \frac{30^\circ}{2} = \frac{\frac{60^\circ}{2}}{2} \] Дакле, план конструкције је: 1. Конструисати угао од $ 60^\circ $. 2. Конструисати симетралу тог угла да бисмо добили $ 30^\circ $. 3. Конструисати симетралу угла...

Конструиши угао чија је мера: 1) $ 120^\circ $; 2) $ 195^\circ $; 3) $ 225^\circ $; 4) $ 300^\circ $; 5) $ 165^\circ $; 6) $ 105^\circ $; 7) $ 150^\circ $.

Корак 1: Анализа стратегије конструкције Сваки од задатих углова можемо конструисати комбиновањем основних углова од $ 60^\circ $ (добијених конструкцијом једнакостраничног троугла) и $ 90^\circ $ (нормала), као и њиховим половљењем помоћу симетрале угла. - Основне мере: $ 60^\circ $, $ 90^\circ $, $ 180^\circ $. - Изведене мере симетралом: $ 30^\circ $ ($ 60:2 $), $ 15^\circ $ ($ 30:2 $), $ 45^\circ $ ($ 90:2 $). 1) Конструкција угла од $ 120^\circ $ Корак 2: Сабирање д...

Увод У Геометријске Конструкције

Најважније из лекције

Кључни поступци геометријских конструкција:

Алати: Искључиво лењир (без мера) и шестар.
Симетрала дужи: Права која полови дуж под правим углом. Добија се пресеком два лука истог полупречника из крајева дужи.
Висина троугла: Дуж која спаја теме и подножје нормале на наспрамну страницу (код тупоуглог троугла пада на продужетак странице).
Симетрала угла: Дели угао на два једнака дела.
Базни углови: Угао од $ 60^\circ $ се конструише пресеком два лука истог полупречника. Остали углови ($ 30^\circ, 15^\circ, 75^\circ, 90^\circ $) добијају се сабирањем или половљењем (симетралом).

Геометријске конструкције се изводе коришћењем искључиво обичног лењира и шестара. Употреба угломера и троугаоног лењира није дозвољена.

Симетрала дужи је права која садржи средиште те дужи и нормална је на њу. Конструкцијом симетрале, уједно налазимо и средиште дужи.

Из темена $ A $ и $ B $ дате дужи $ AB $ описујемо кружнице (или кружне лукове) истог полупречника $ r $.

Полупречник $ r $ мора бити већи од половине дужи $ AB $ како би се лукови пресекли.

Кроз две пресечне тачке ових кружница провлачимо праву која представља симетралу $ s_{AB} $.

Илустрација дужи AB са њеном симетралом s. Приказани су кружни лукови истог полупречника из тачака A и B који се секу у две тачке (једна изнад, једна испод дужи). Права s пролази кроз те две пресечне тачке и сече дуж AB у њеном средишту S под правим углом.

Објасни како би конструисао/ла тачку која дели дуж $ MN $ тачно на пола.

Одговор: Тачку која полови дуж $ MN $ добијамо конструисањем симетрале дужи $ MN $. Пресек симетрале и саме дужи $ MN $ јесте њено средиште.

Конструкција нормале на праву $ p $ из тачке $ P $ (било да је тачка на правој или ван ње) своди се на одређивање две тачке на правој $ p $ које су једнако удаљене од $ P $, а затим конструисање тачке једнако удаљене од њих (као код симетрале дужи).

Висина троугла је дуж чија је једна крајња тачка теме тог троугла, а друга је подножје нормале из тог темена на праву на којој се налази наспрамна страница.

Висине се обележавају са $ h_a $ (из темена $ A $), $ h_b $ (из темена $ B $) и $ h_c $ (из темена $ C $).

Код тупоуглог троугла, подножје висине из темена оштрог угла не пада на саму страницу, већ на њен продужетак.

$Приказати тупоугли троугао ABC. Угао код темена B је туп (већи од 90 степени). Темена А, B и C треба да буду распоређена тако да А буде у доњем левом делу, B десно од А, а C постављено тако да угао ABC буде туп. Линија која садржи страницу BC треба да буде продужена испрекиданом линијом улево од тачке B. Из темена А спуштена је висина $h_a$, која пада нормално на тај продужетак странице BC. Подножје висине, које се налази на продужетку странице BC ван троугла и лево од B, означити као $H_a$. Висина $AH_a$ треба да буде приказана пуном линијом. На месту подножја $H_a$ приказати симбол правог угла. Означити сва темена A, B, C, подножје $H_a$ и висину $h_a$.$

Колико висина има сваки троугао?

Одговор: Сваки троугао има тачно три висине, по једну из сваког темена.

Симетрала угла је полуправа која полази из темена угла и дели тај угао на два једнака дела.

Из темена угла $ O $ опишемо кружни лук који сече краке угла у тачкама $ P $ и $ Q $. На овај начин је $ OP = OQ $.

Из тачака $ P $ и $ Q $ опишемо лукове истим полупречником тако да се секу у тачки $ S $.

Полуправа $ OS $ представља симетралу датог угла.

Конструкција симетрале угла: Приказан је угао са теменом O. Почетни лук сече краке у тачкама P и Q. Из тих тачака нацртани су нови лукови који се секу у тачки S унутар угла. Полуправа OS полови почетни угао.

Ако желимо да конструишемо угао од $ 45^\circ $, како ћемо то урадити користећи симетралу угла?

Одговор: Прво конструишемо прав угао ($ 90^\circ $) помоћу нормале на праву, а затим конструишемо његову симетралу која ће га поделити на два угла од по $ 45^\circ $.

Сви углови једнакостраничног троугла износе $ 60^\circ $, па се конструкција овог угла заснива на конструкцији једнакостраничног троугла.

Из темена $ O $ нацртамо кружни лук произвољног полупречника који сече почетни крак у једној тачки.

Без промене отвора шестара, забодемо иглу у пресечну тачку на краку и пресечемо први лук.

Права кроз теме $ O $ и нову пресечну тачку гради угао од $ 60^\circ $.

$Конструкција угла од 60 степени: Приказана је хоризонтална полуправа $ OA $ са почетком у тачки $ O $ која се простире удесно, и тачком $ A $ на њој. Са центром у тачки $ O $, нацртан је кружни лук произвољног полупречника $ r $ који пролази кроз тачку $ A $. Затим, са центром у тачки $ A $ и истим полупречником $ r $, нацртан је други кружни лук који сече први лук у тачки $ C $. Полуправа $ OC $ је повучена из тачке $ O $ кроз тачку $ C $. Угао $\angle AOC$ између полуправа $ OA $ и $ OC $ износи $ 60^\circ $. Конструкција се заснива на формирању једнакостраничног троугла $ OAC $, где су дужине страница $ OA, AC, CO $ једнаке полупречнику $ r $.$

Изведене углове конструишемо надовезивањем и дељењем постојећих углова на пола (помоћу симетрале).

$ 30^\circ $ = половина од $ 60^\circ $ (једна симетрала)
$ 15^\circ $ = половина од $ 30^\circ $ (две симетрале)
$ 75^\circ = 60^\circ + 15^\circ $ или $ 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ $

Проблем трисекције угла: Старогрчки математичари су утврдили да није могуће сваки угао поделити на три једнака дела коришћењем само лењира и шестара (на пример, немогуће је конструисати угао од $ 20^\circ $ дељењем угла од $ 60^\circ $).

Задаци за вежбање

Лак: Која два инструмента једино смеш користити приликом извођења геометријских конструкција?

Одговор: Дозвољено је коришћење само обичног лењира и шестара.

Средњи: Опиши поступак конструкције угла од $ 105^\circ $.

Одговор: Како је $ 105^\circ = 90^\circ + 15^\circ $ (или $ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ $), један начин је:
1. Конструишемо прав угао ($ 90^\circ $).
2. Са спољне стране нормале остаје нам још $ 90^\circ $. Њега прво поделимо симетралом на два угла од $ 45^\circ $.
3. Угао од $ 45^\circ $ који је уз почетни прав угао поново поделимо симетралом да бисмо добили $ 22.5^\circ $, што нам не одговара...
Бољи приступ: $ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ $.
1. Конструишемо угао од $ 60^\circ $.
2. Из истог темена конструишемо нормалу ($ 90^\circ $).
3. Угао између крака од $ 60^\circ $ и нормале ($ 90^\circ $) је $ 30^\circ $. Конструисањем симетрале овог угла од $ 30^\circ $, делимо га на два угла од $ 15^\circ $.
4. Када на $ 90^\circ $ додамо тих $ 15^\circ $, добијамо $ 105^\circ $.

Тежак: Дата је дуж $ AB $. Опиши како би је, користећи само лењир и шестар, поделио/ла на тачно 4 једнака дела.

Одговор:
1. Прво конструишемо симетралу $ s_1 $ дужи $ AB $. Пресек симетрале $ s_1 $ и дужи $ AB $ је тачка $ S $, која полови дуж $ AB $ на два једнака дела ($ AS $ и $ SB $).
2. Затим конструишемо симетралу $ s_2 $ за дуж $ AS $. Њен пресек ће дати тачку $ P $ која полови дуж $ AS $.
3. На крају, конструишемо симетралу $ s_3 $ за дуж $ SB $. Њен пресек ће дати тачку $ Q $ која полови дуж $ SB $.
Тачке $ P $, $ S $ и $ Q $ сада деле почетну дуж $ AB $ на 4 једнака дела: $ AP = PS = SQ = QB $.

13. Увод У Геометријске Конструкције

Изабери решење задатка:

Анализа задатка

Кораци конструкције

Закључак

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

Анализа задатка

Кораци конструкције

Закључак

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: