Најважније из лекције
Основни принципи решавања једначина:
- Једнакост се не мења ако се обе стране саберу/одузму истим бројем: \( a = b \Rightarrow a \pm c = b \pm c \).
- Једнакост се не мења ако се обе стране помноже/поделе истим бројем (различитим од нуле): \( a = b \Rightarrow a \cdot c = b \cdot c \).
- Једначине облика \( ax + b = c \): Прво се ослобађамо слободног члана (\( b \)) пребацивањем на другу страну, а затим делимо коефицијентом уз непознату (\( a \)).
Решити једначину у датом скупу бројева значи одредити све бројеве тог скупа који, када се замене уместо непознате, једначину преводе у тачну једнакост.
Подразумева се да једначине решавамо у скупу рационалних бројева \( Q \), осим ако није другачије наглашено.
Једначину можемо замислити као теразије (вагу) у равнотежи. Да би равнотежа (једнакост) опстала, све што додамо, одузмемо, помножимо или поделимо на једној страни, морамо урадити и на другој.
Нека су \( a, b, c \in Q \). Ако је \( a = b \), онда је \( a + c = b + c \).
Додавањем истог броја на обе стране једнакости (или одузимањем истог броја од обе стране) добија се нова, тачна једнакост. (Напомена: одузети број \( c \) је исто што и додати број \( -c \)).
Додавањем истог броја на обе стране једнакости (или одузимањем истог броја од обе стране) добија се нова, тачна једнакост. (Напомена: одузети број \( c \) је исто што и додати број \( -c \)).
Пример: \( x - 2,5 = -0,7 \)
Да бисмо изоловали \( x \), на обе стране додајемо \( 2,5 \): \[ x - 2,5 + 2,5 = -0,7 + 2,5 \] \[ x = 1,8 \]
Да бисмо изоловали \( x \), на обе стране додајемо \( 2,5 \): \[ x - 2,5 + 2,5 = -0,7 + 2,5 \] \[ x = 1,8 \]
Решити једначину: \( 2,5 - x = -0,7 \)
Додајемо \( x \) на обе стране како бисмо добили позитивну непознату:
\[ 2,5 - x + x = -0,7 + x \]
\[ 2,5 = -0,7 + x \]
Затим додајемо \( 0,7 \) на обе стране:
\[ 2,5 + 0,7 = x \]
\[ x = 3,2 \]
Подсетник: Непознати умањилац се може израчунати и тако што од умањеника одузмемо разлику: \( x = 2,5 - (-0,7) = 2,5 + 0,7 = 3,2 \).
Нека су \( a, b, c \in Q \). Ако је \( a = b \), онда је \( a \cdot c = b \cdot c \) (за \( c \neq 0 \)).
Множењем или дељењем обе стране једначине истим бројем (различитим од нуле), добија се нова једначина која има исто решење као и полазна.
Множењем или дељењем обе стране једначине истим бројем (различитим од нуле), добија се нова једначина која има исто решење као и полазна.
Пример 1: \( 3x = 1,05 \)
Делимо обе стране бројем 3: \[ 3x = 1,05 \quad / : 3 \] \[ x = 0,35 \]
Делимо обе стране бројем 3: \[ 3x = 1,05 \quad / : 3 \] \[ x = 0,35 \]
Решити једначину: \( -\frac{3}{4}x = \frac{3}{16} \)
Обе стране једначине множимо реципрочном вредношћу коефицијента уз \( x \), односно бројем \( -\frac{4}{3} \):
\[ -\frac{3}{4}x \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{3}{16} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) \]
\[ x = -\frac{1}{4} \]
Једначине облика \( ax + b = c \), где је \( a \neq 0 \), имају тачно једно решење:
\[ x = \frac{c - b}{a} \]
Изолујте члан са непознатом (\( ax \)) тако што ћете познати члан (\( b \)) елиминисати додавањем супротног броја на обе стране једначине.
Одредите саму непознату \( x \) дељењем обе стране једначине коефицијентом уз непознату (\( a \)).
Пример: \( 5x - 3,2 = -2,8 \)
Додајемо \( 3,2 \) на обе стране: \[ 5x = -2,8 + 3,2 \] \[ 5x = 0,4 \] Делимо обе стране са \( 5 \) (или множимо са \( \frac{1}{5} \)): \[ x = 0,4 : 5 \] \[ x = 0,08 \]
Додајемо \( 3,2 \) на обе стране: \[ 5x = -2,8 + 3,2 \] \[ 5x = 0,4 \] Делимо обе стране са \( 5 \) (или множимо са \( \frac{1}{5} \)): \[ x = 0,4 : 5 \] \[ x = 0,08 \]
Решити једначину: \( 4 - \frac{2}{3}x = -\frac{1}{6} \)
Одузимамо \( 4 \) са обе стране:
\[ -\frac{2}{3}x = -\frac{1}{6} - 4 \]
\[ -\frac{2}{3}x = -\frac{25}{6} \]
Множимо обе стране са \( -\frac{3}{2} \):
\[ x = -\frac{25}{6} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \]
\[ x = \frac{25}{4} \]
Једначине у којима се непозната налази унутар заграде (нпр. \( a \cdot (x + b) = c \)) могу се решавати на два начина.
Пример: \( 1,3 \cdot (x + 4,07) = -3,9 \)
Први начин (дељење): Делимо обе стране са \( 1,3 \) да бисмо ослободили заграду. \[ x + 4,07 = -3,9 : 1,3 \] \[ x + 4,07 = -3 \] \[ x = -3 - 4,07 \Rightarrow x = -7,07 \]
Други начин (дистрибутивност): Множимо сваки члан у загради са \( 1,3 \). \[ 1,3x + 1,3 \cdot 4,07 = -3,9 \] \[ 1,3x + 5,291 = -3,9 \] \[ 1,3x = -3,9 - 5,291 \] \[ 1,3x = -9,191 \Rightarrow x = -7,07 \]
Први начин (дељење): Делимо обе стране са \( 1,3 \) да бисмо ослободили заграду. \[ x + 4,07 = -3,9 : 1,3 \] \[ x + 4,07 = -3 \] \[ x = -3 - 4,07 \Rightarrow x = -7,07 \]
Други начин (дистрибутивност): Множимо сваки члан у загради са \( 1,3 \). \[ 1,3x + 1,3 \cdot 4,07 = -3,9 \] \[ 1,3x + 5,291 = -3,9 \] \[ 1,3x = -3,9 - 5,291 \] \[ 1,3x = -9,191 \Rightarrow x = -7,07 \]
Задаци за вежбање
Лак: Решити једначину: \( x + 5,2 = -1,8 \)
Одузимамо \( 5,2 \) са обе стране:
\[ x = -1,8 - 5,2 \]
\[ x = -7 \]
Одговор: \( x = -7 \)
Средњи: Решити једначину: \( \frac{x}{2} + 1,5 = -3,5 \)
Прво пребацујемо \( 1,5 \) на десну страну (одузимамо са обе стране):
\[ \frac{x}{2} = -3,5 - 1,5 \]
\[ \frac{x}{2} = -5 \]
Затим множимо обе стране са \( 2 \):
\[ x = -5 \cdot 2 \]
\[ x = -10 \]
Одговор: \( x = -10 \)
Тежак: Решити једначину: \( -2 \cdot \left(\frac{1}{3}x - 4\right) = 10 \)
Најбржи начин је да прво поделимо обе стране са \( -2 \):
\[ \frac{1}{3}x - 4 = 10 : (-2) \]
\[ \frac{1}{3}x - 4 = -5 \]
Затим додајемо \( 4 \) на обе стране:
\[ \frac{1}{3}x = -5 + 4 \]
\[ \frac{1}{3}x = -1 \]
Множимо обе стране са \( 3 \):
\[ x = -1 \cdot 3 \]
\[ x = -3 \]
Одговор: \( x = -3 \)
