Правоугаоник, Ромб, Квадрат

Question 1

Задатак 1. Наведи све теореме које приказује дата шема. Као пример, наводимо теорему која одговара хоризонталној стрелици усмереној слева надесно. ($\rightarrow$) Ако су наспрамни углови четвороугла једнаки, онда су наспрамне странице тог четвороугла једнаке.

Accepted Answer

Шема приказује међусобну повезаност дефиниције паралелограма и његових битних својстава. Свака стрелица представља једну теорему у облику "Ако (својство из ког полази стрелица), онда (својство на које стрелица показује)".

Корак 1: Анализа стрелица које полазе од дефиниције паралелограма
Ове стрелице показују особине које сваки паралелограм има по дефиницији:

Надоле ($\downarrow$): Ако је четвороугао паралелограм, онда се његове дијагонале узајамно полове.
    Лево ($\swarrow$): Ако је...

Question 2

Задатак 2. 1) Ако неки четвороугао има три права угла, да ли он мора бити правоугаоник? Зашто? 2) Ако паралелограм има један прав угао, да ли он мора бити правоугаоник? Зашто?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа збира углова четвороугла за први део задатка
У првом делу питања разматрамо произвољан четвороугао који има три права угао. Знамо да је збир свих унутрашњих углова било ког четвороугла увек $ 360^\circ $. Означимо углове четвороугла са $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $. Нека су три од њих права:
$$ \alpha = 90^\circ, \beta = 90^\circ, \gamma = 90^\circ $$
Да бисмо пронашли четврти угао $ \delta $, користимо формулу:
$$ \delta = 360^\circ - (\alpha + \beta + \gamma) $$
\[ \...

Question 3

Задатак 4. Дијагонале правоугаоника секу се под углом од $20^\circ$. Колики угао заклапају дијагонале са страницама правоугаоника?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа својстава правоугаоника
Да бисмо решили задатак, подсетимо се кључних особина дијагонала правоугаоника:
- Дијагонале правоугаоника су међусобно једнаке ($ d_1 = d_2 $).
- Дијагонале правоугаоника се узајамно полове.
Ове две особине значе да тачка пресека дијагонала (означимо је са $ O $) дели обе дијагонале на четири једнаке дужи: $ AO = BO = CO = DO $.

Корак 2: Цртање скице и уочавање карактеристичних троуглова
Нацртај правоугаоник $ ABCD $. Повуци дијагонале $ AC $...

Question 4

Задатак 5. Ако су дијагонале паралелограма једнаке, докажи да је онда тај паралелограм заправо правоугаоник.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа слике и елемената паралелограма
Нацртаћемо паралелограм $ ABCD $. Означимо странице са $ AB = CD = a $ и $ BC = DA = b $. Дијагонале паралелограма су $ AC $ и $ BD $. Према услову задатка, ове дијагонале су једнаке, односно $ AC = BD $.
Нацртај паралелограм ABCD. Повуци дијагонале AC и BD. Означи страницу AB као доњу основицу, а CD као горњу. Постави ознаке једнакости на наспрамне странице (AB и CD, BC и AD) и на саме дијагонале.

Корак 2: Уочавање и доказивање подуд...

Question 5

Задатак 6. Пажљиво анализирај слику и детаљно образложи зашто је $APBQ$ правоугаоник. 1) 2)

Accepted Answer

Корак 1: Анализа првог случаја (углови)
1)
На слици су приказане две дужи, $ AB $ и $ PQ $, које се секу у некој тачки. Дати су углови које ове дужи образују.
Посматрајмо троугао $ \triangle OAB $, где је $ O $ тачка пресека дужи (иако није именована, користићемо је за објашњење). Углови код темена $ A $ и $ B $ су $ 36^\circ $ и $ 54^\circ $. Збир углова у троуглу је $ 180^\circ $, па је трећи угао у том троуглу:
\( \angle AOB = 180^\circ - (36^\circ + 54^\circ) = 180^\circ -...

Question 6

Задатак 7. Две тачке $A$ и $B$ налазе се са исте стране праве $p$ и једнако су удаљене од праве $p$. Докажи да је права $AB$ паралелна са $p$.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа задатка и цртање слике
Нацртај хоризонталну праву $ p $. Изнад ње означи две тачке $ A $ и $ B $. Из тачке $ A $ спусти нормалу на праву $ p $ и подножје означи са $ A_1 $. Из тачке $ B $ спусти нормалу на праву $ p $ и подножје означи са $ B_1 $. Повежи тачке $ A, B, B_1, A_1 $ тако да добијеш четвороугао.
Удаљеност тачке од праве се дефинише као дужина нормале спуштене из те тачке на праву. Нека су $ A_1 $ и $ B_1 $ подножја нормала из тачака $ A $ и...

Question 7

Задатак 8. Симетрала једног угла правоугаоника полови његову дужу страницу $a = 7\text{ cm}$. Одреди обим правоугаоника.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа слике и својстава симетрале
Нека је правоугаоник обележен са $ ABCD $, где је дужа страница $ AB = a = 7 \text{ cm} $, а краћа $ AD = b $. Нека је $ s $ симетрала угла код темена $ A $. Симетрала дели угао од $ 90^\circ $ на два једнака угла од по $ 45^\circ $. Према задатку, ова симетрала сече страницу $ CD $ у тачки $ M $ тако да је $ M $ средиште странице $ CD $.
Нацртај правоугаоник ABCD. Обележи дужу страницу AB са 7 cm. Из темена A повуци полуправу ко...

Question 8

Задатак 9. Одреди све углове ромба чија је краћа дијагонала једнака његовој страници.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа својстава ромба
Ромб је четвороугао код кога су све странице једнаке дужине. Означимо дужину странице ромба са $ a $. Дакле, важи $ AB = BC = CD = DA = a $. Према услову задатка, краћа дијагонала ромба $ d_2 $ једнака је његовој страници, што значи $ d_2 = a $. Нека је та дијагонала дуж $ BD $.

Корак 2: Анализа троугла образованог дијагоналом
Дијагонала $ BD $ дели ромб $ ABCD $ на два подударна троугла: $ \triangle ABD $ и $ \triangle BCD $. Посматрајмо троуг...

Question 9

Задатак 10. Израчунај обим ромба чији је оштар угао једнак $60^\circ$, а краћа дијагонала једнака $4\text{ cm}$.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа својстава ромба и дијагонала
Нека је $ ABCD $ ромб са оштрим углом $ \alpha = 60^\circ $ код темена $ A $. Код ромба су све странице једнаке ($ AB = BC = CD = DA = a $). Дијагонала $ AC $ је дужа, док је дијагонала $ BD $ краћа дијагонала. Према тексту задатка, краћа дијагонала $ d_2 = BD = 4 \text{ cm} $.

Корак 2: Скицирање фигуре
Нацртаћемо ромб и уочити троугао који формирају две странице и краћа дијагонала.
Нацртај ромб ABCD. Темена А и С су на већој удаљеност...

Question 10

Задатак 11. Пажљиво анализирај слику и детаљно образложи зашто је $APBQ$ ромб. 1) 2) 3)

Accepted Answer

Корак 1: Анализа првог случаја (дужине страница преко кружница)
1)
На основу ознака на слици, тачке $ P $ и $ Q $ су дефинисане као пресечне тачке лукова три кружнице истог полупречника $ r = 2\text{ cm} $.
- Тачка $ P $ је пресек кружница $ k(A, 2\text{ cm}) $ и $ k(B, 2\text{ cm}) $. Из тога следи да је $ AP = 2\text{ cm} $ и $ BP = 2\text{ cm} $.
- Тачка $ Q $ је пресек кружница $ k(A, 2\text{ cm}) $ и $ k(B, 2\text{ cm}) $. Из тога следи да је $ AQ = 2\text{ cm} $ и \...

Question 11

Задатак 12. Ако су дијагонале паралелограма узајамно нормалне, докажи да онда тај паралелограм мора бити ромб. Упутство. Претпостави да је $ABCD$ паралелограм чије се дијагонале секу под правим углом. Означи пресек дијагонала са $O$ и докажи подударност троуглова $AOB$ и $COB$.

Accepted Answer

Корак 1: Цртање слике и поставка задатка
Прво ћемо нацртати паралелограм $ ABCD $ и његове дијагонале $ AC $ и $ BD $ које се секу у тачки $ O $. Према услову задатка, дијагонале су узајамно нормалне.
Нацртај паралелограм ABCD. Повуци дијагонале AC и BD и означи њихов пресек са O. Код тачке O обележи прав угао (90 степени) између дијагонала.

Корак 2: Коришћење својстава паралелограма
Знамо да је $ ABCD $ паралелограм. Једно од основних својстава сваког паралелограма јесте да се његове...

Question 12

Задатак 13. Образложи зашто су наредна тврђења тачна. 1) Дијагонале квадрата су једнаке и узајамно су нормалне. 2) Око квадрата се може описати кружница. 3) У квадрат се може уписати кружница.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа дефиниције квадрата
Квадрат је дефинисан као четвороугао који има све четири странице једнаке дужине и све углове једнаке ($ 90^\circ $). Из ове дефиниције закључујемо да је сваки квадрат истовремено и правоугаоник (јер има све праве углове) и ромб (јер има све једнаке странице). Сходно томе, квадрат наслеђује сва својства ове две фигуре.

Корак 2: Образложење за својства дијагонала
1) Дијагонале квадрата су једнаке и узајамно су нормалне.
- Како је квадрат посебна врста право...

Question 13

Задатак 14. Докажи да средишта страница квадрата образују нови квадрат.

Accepted Answer

Да бисмо доказали да средишта страница квадрата образују нови квадрат, поћи ћемо од особина почетног квадрата и користити подударност троуглова.

Корак 1: Нацртај и означи слику
Нека је $ ABCD $ дати квадрат странице $ a $. Означимо средишта његових страница:
- $ M $ је средиште странице $ AB $
- $ N $ је средиште странице $ BC $
- $ P $ је средиште странице $ CD $
- $ Q $ је средиште странице $ DA $
Нацртај квадрат ABCD. На средини сваке странице означи тачке: M на AB, N на...

Question 14

Задатак 15. 1) Ако су дијагонале паралелограма једнаке и узајамно нормалне, докажи да тај паралелограм мора бити квадрат. 2) Ако су дијагонале неког четвороугла једнаке и узајамно нормалне, да ли тај четвороугао мора бити квадрат?

Accepted Answer

Корак 1: Анализа првог дела задатка
У првом делу задатка треба да докажемо да је паралелограм $ ABCD $, чије су дијагонале $ AC $ и $ BD $ једнаке и нормалне, заправо квадрат. Квадрат је фигура која је истовремено и правоугаоник и ромб.
Нацртај квадрат ABCD. Повуци дијагонале AC и BD које се секу у тачки O. Означи да су дијагонале једнаке дужине и да се секу под правим углом од 90 степени.

Корак 2: Доказивање да је паралелограм правоугаоник
Према својствима четвороуглова, паралелограм чиј...

36. Правоугаоник, Ромб, Квадрат

Изабери решење задатка:

1)

2)

3)

Корак 1: Анализа првог случаја (дужине страница преко кружница)

1)

Корак 2: Анализа другог случаја (својства дијагонала)

2)

Корак 3: Анализа трећег случаја (углови и симетрија)

3)

Кратак запис решења:

1)

2)

3)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Својство дијагонала	Паралелограм	Правоугаоник	Ромб	Квадрат
Међусобно се полове	Да	Да	Да	Да
Међусобно су једнаке	Не	Да	Не	Да
Секу се под правим углом	Не	Не	Да	Да
Полове унутрашње углове	Не	Не	Да	Да