Најважније из лекције
Правоугаоник, ромб и квадрат су специјалне врсте паралелограма. Сви они имају основна својства паралелограма, али се разликују по специфичним својствима дијагонала.
Квадрат обједињује сва својства правоугаоника и ромба!
| Својство дијагонала | Паралелограм | Правоугаоник | Ромб | Квадрат |
|---|---|---|---|---|
| Међусобно се полове | Да | Да | Да | Да |
| Међусобно су једнаке | Не | Да | Не | Да |
| Секу се под правим углом | Не | Не | Да | Да |
| Полове унутрашње углове | Не | Не | Да | Да |
Квадрат обједињује сва својства правоугаоника и ромба!
Правоугаоник је четвороугао чији су сви углови међусобно једнаки. Из теореме о збиру углова четвороугла следи да су сви његови углови прави (\( 90^\circ \)).
Сваки правоугаоник је уједно и паралелограм, па за њега важе сва својства паралелограма (наспрамне странице су једнаке, дијагонале се полове).
Специфична својства правоугаоника:
- Дијагонале правоугаоника су међусобно једнаке.
- Око правоугаоника се може описати кружница. Њен центар налази се у пресеку дијагонала, јер је тачка пресека једнако удаљена од свих темена.
Ако су дијагонале неког паралелограма једнаке дужине, каква је то фигура?
Одговор: То је правоугаоник. Једнакост дијагонала је карактеристично својство које паралелограм чини правоугаоником.
Ромб је четвороугао чије су све странице међусобно једнаке. Ромб је такође врста паралелограма.
Специфична својства ромба:
- Дијагонале ромба секу се под правим углом (узајамно су нормалне).
- Свака дијагонала ромба полови углове чија темена садржи.
- У ромб се може уписати кружница. Њен центар се налази у пресеку дијагонала, јер је тачка пресека једнако удаљена од свих страница.
Једна дијагонала ромба гради са његовом страницом угао од \( 35^\circ \). Колики су унутрашњи углови тог ромба?
Одговор: Пошто дијагонала полови унутрашњи угао ромба, цео тај угао износи \( 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ \). Други (њему суседан) угао ромба допуњује га до \( 180^\circ \), па износи \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \). Углови ромба су \( 70^\circ \) и \( 110^\circ \).
Квадрат је четвороугао чије су све странице међусобно једнаке и чији су сви углови међусобно једнаки.
Квадрат је истовремено и правоугаоник и ромб (и паралелограм), па самим тим наслеђује особине свих ових фигура.
Својства квадрата:
- Дијагонале су једнаке, узајамно нормалне и полове се.
- Дијагонале полове унутрашње углове (деле прави угао на два угла од по \( 45^\circ \)).
- Центар и уписане и описане кружнице је у пресеку дијагонала.
- Пречник уписане кружнице једнак је страници квадрата (\( 2r = a \)).
- Пречник описане кружнице једнак је дијагонали квадрата (\( 2R = d \)).
- Квадрат има 4 осе симетрије.
Ако је страница квадрата \( 8 \text{ cm} \), колики је полупречник његове уписане кружнице?
Одговор: Пречник уписане кружнице квадрата једнак је његовој страници (\( 2r = a \)). Дакле, \( 2r = 8 \text{ cm} \), па је полупречник \( r = 4 \text{ cm} \).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Да ли је сваки квадрат ромб? Да ли је сваки ромб квадрат? Образложи одговор.
Одговор: Сваки квадрат јесте ромб јер има све четири једнаке странице (што је дефиниција ромба). Међутим, сваки ромб није квадрат, јер ромб не мора да има све једнаке (праве) углове.
Средњи ниво: Обим ромба је \( 40 \text{ cm} \), а један његов унутрашњи угао износи \( 60^\circ \). Израчунај дужину краће дијагонале тог ромба.
Поступак:
1. Страница ромба је \( a = 40 \text{ cm} : 4 = 10 \text{ cm} \).
2. Троугао који чине две странице ромба и његова краћа дијагонала је једнакокраки (јер су странице ромба једнаке).
3. Како је угао између тих страница \( 60^\circ \), тај троугао је заправо једнакостраничан (остала два угла су \( (180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ \)).
Одговор: Дужина краће дијагонале једнака је дужини странице, дакле \( 10 \text{ cm} \).
1. Страница ромба је \( a = 40 \text{ cm} : 4 = 10 \text{ cm} \).
2. Троугао који чине две странице ромба и његова краћа дијагонала је једнакокраки (јер су странице ромба једнаке).
3. Како је угао између тих страница \( 60^\circ \), тај троугао је заправо једнакостраничан (остала два угла су \( (180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ \)).
Одговор: Дужина краће дијагонале једнака је дужини странице, дакле \( 10 \text{ cm} \).
Тежи ниво: Угао између дијагонале и странице правоугаоника је \( 40^\circ \). Под којим углом се секу дијагонале тог правоугаоника?
Поступак:
1. Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се. Тачка њиховог пресека са теменима правоугаоника формира четири једнакокрака троугла.
2. Посматрајмо један такав троугао који чине половина једне дијагонале, половина друге дијагонале и страница правоугаоника.
3. Углови на основици тог једнакокраког троугла су по \( 40^\circ \).
4. Угао при врху тог троугла (што је уједно и угао под којим се дијагонале секу) износи: \( 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).
Одговор: Дијагонале се секу под угловима од \( 100^\circ \) (туп угао) и \( 80^\circ \) (оштар угао, \( 180^\circ - 100^\circ \)). Уобичајено се наводи мањи угао, дакле \( 80^\circ \).
1. Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се. Тачка њиховог пресека са теменима правоугаоника формира четири једнакокрака троугла.
2. Посматрајмо један такав троугао који чине половина једне дијагонале, половина друге дијагонале и страница правоугаоника.
3. Углови на основици тог једнакокраког троугла су по \( 40^\circ \).
4. Угао при врху тог троугла (што је уједно и угао под којим се дијагонале секу) износи: \( 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).
Одговор: Дијагонале се секу под угловима од \( 100^\circ \) (туп угао) и \( 80^\circ \) (оштар угао, \( 180^\circ - 100^\circ \)). Уобичајено се наводи мањи угао, дакле \( 80^\circ \).
