V.4. На Крају Поглавља

Решење: Опис тела Коцка има ивицу \( a = 6\ \text{cm} \). На сваку од њених 6 страна залепљена је правилна четворострана пирамида чије су све ивице (и основне и бочне) једнаке ивици коцке, дакле једнаке \( 6\ \text{cm} \). Основе пирамида поклапају се са странама коцке, па оне нису на површини готовог тела. Спољашњу површину чине само бочне стране пирамида. Површина Свака пирамида има 4 бочне стране. Пошто су и основна ивица и бочна ивица дужине \( a = 6\ \text{cm} \), свака бочна страна је једнакостранични троугао странице \( 6\ \text{cm} \). Њихова површина је: \[ P_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\ \text{cm}^2. \] Има их укупно \( 6 \cdot 4 = 24 \) (шест пирамида по четири стране), па је површина тела: \[ P = 24 \cdot 9\sqrt{3} = 216\sqrt{3}\ \text{cm}^2 \approx 374{,}12\ \text{cm}^2. \] Висина једне пирамиде Основа пирамиде је квадрат странице \( a = 6\ \text{cm} \). Полудијагонала основе (растојање од центра квадрата до темена) једнака је полудијагонали квадрата: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\ \text{cm}. \] Бочна ивица је \( s = a = 6\ \text{cm} \). Из правоуглог троугла образованог висином \( H \), полудијагоналом \( R \) и бочном ивицом \( s \), по Питагориној теореми \( s^2 = H^2 + R^2 \): \[ H = \sqrt{s^2 - R^2} = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 18} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\ \text{cm}. \] Запремина Запремина коцке: \[ V_{\text{коцке}} = a^3 = 6^3 = 216\ \text{cm}^3. \] Запремина једне пирамиде (основа \( B = a^2 = 36\ \text{cm}^2 \), висина \( H = 3\sqrt{2}\…