Најважније из лекције
Призма: Има две подударне и паралелне основе.
- Површина: \( P = 2B + M \) (где је \( M = O_{\text{базе}} \cdot H \))
- Запремина: \( V = B \cdot H \)
- Просторна дијагонала: \( D^2 = d^2 + H^2 \) (за квадар \( D = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \), за коцку \( D = a\sqrt{3} \))
- Површина: \( P = B + M \) (бочне стране су троуглови са висином \( h \))
- Запремина: \( V = \frac{1}{3} B \cdot H \)
- Кључне везе: \( h^2 = H^2 + r^2 \) (веза висине, полупречника уписаног круга и апотеме); \( s^2 = H^2 + R^2 \) (веза висине, полупречника описаног круга и бочне ивице).
Права призма је геометријско тело ограничено са два подударна многоугла која леже у паралелним равнима (основе или базе) и правоугаоницима који повезују њихове одговарајуће странице (бочне стране). Све бочне стране заједно чине омотач призме.
Странице многоугла у основи су основне ивице (\( a, b, c... \)), дужи које спајају одговарајућа темена две основе су бочне ивице, а растојање између равни основа је висина призме (\( H \)). Код праве призме, бочне ивице су једнаке њеној висини.
Подела призми:
- \( n \)-тострана призма: основа је \( n \)-тоугао (тространа, четворострана, шестострана...).
- Правилна призма: права призма чија је основа правилан многоугао (једнакостранични троугао, квадрат, правилни шестоугао...).
- Једнакоивична призма: призма чије су све ивице (и основне и бочне) једнаких дужина; њене бочне стране су квадрати.
- Паралелепипед: четворострана призма чије су основе паралелограми. Ако су основе правоугаоници, назива се квадар. Квадар чије су све ивице једнаке је коцка.
Просторна дијагонала призме (\( D \)) спаја два темена која не припадају истој страни. Израчунава се применом Питагорине теореме на правоугли троугао чије су катете дијагонала основе (\( d \)) и висина призме (\( H \)):
\[ D^2 = d^2 + H^2 \]
- Квадар са ивицама \( a, b, c \): \( d = \sqrt{a^2 + b^2} \implies D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)
- Коцка са ивицом \( a \): \( D = a\sqrt{3} \)
- Правилна шестострана призма: има дужу дијагоналу основе \( d_1 = 2a \) (\( D_1 = \sqrt{4a^2 + H^2} \)) и краћу дијагоналу основе \( d_2 = a\sqrt{3} \) (\( D_2 = \sqrt{3a^2 + H^2} \)).
Израчунај дужину просторне дијагонале квадра чије су основне ивице \( a = 6 \text{ cm} \), \( b = 8 \text{ cm} \), а висина \( c = 24 \text{ cm} \).
Дијагонала основе је \( d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \).
Просторна дијагонала квадра:
\( D = \sqrt{d^2 + c^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \text{ cm} \).
Просторна дијагонала квадра:
\( D = \sqrt{d^2 + c^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \text{ cm} \).
\[ P = 2B + M \]
\[ V = B \cdot H \]
\( B \) – површина једне основе (базе), \( M \) – површина омотача, \( H \) – висина призме
Површина омотача је збир свих правоугаоника који чине бочне стране: \( M = O_{\text{базе}} \cdot H \), где је \( O_{\text{базе}} \) обим основе призме.
| Врста призме | База (\( B \)) | Површина (\( P \)) | Запремина (\( V \)) |
|---|---|---|---|
| Квадар (\( a, b, c \)) | \( a \cdot b \) | \( 2(ab + bc + ca) \) | \( a \cdot b \cdot c \) |
| Коцка (\( a \)) | \( a^2 \) | \( 6a^2 \) | \( a^3 \) |
| Правилна тространа | \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) | \( \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3aH \) | \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H \) |
| Правилна четворострана | \( a^2 \) | \( 2a^2 + 4aH \) | \( a^2 \cdot H \) |
| Правилна шестострана | \( 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \) | \( 3a^2\sqrt{3} + 6aH \) | \( \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot H \) |
Основа праве тростране призме је правоугли троугао са катетама \( a = 6 \text{ cm} \) и \( b = 8 \text{ cm} \). Ако је висина призме \( H = 10 \text{ cm} \), израчунај њену површину и запремину.
1. Хипотенуза основе: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \text{ cm} \).
2. Површина базе: \( B = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ cm}^2 \).
3. Омотач: \( M = (a + b + c) \cdot H = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240 \text{ cm}^2 \).
4. Површина: \( P = 2B + M = 2 \cdot 24 + 240 = 288 \text{ cm}^2 \).
5. Запремина: \( V = B \cdot H = 24 \cdot 10 = 240 \text{ cm}^3 \).
2. Површина базе: \( B = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ cm}^2 \).
3. Омотач: \( M = (a + b + c) \cdot H = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240 \text{ cm}^2 \).
4. Површина: \( P = 2B + M = 2 \cdot 24 + 240 = 288 \text{ cm}^2 \).
5. Запремина: \( V = B \cdot H = 24 \cdot 10 = 240 \text{ cm}^3 \).
Пирамида је геометријско тело ограничено једним многоуглом (основа или база) и троугловима који имају заједничко теме ван те равни (врх пирамиде \( S \)). Сви троуглови заједно чине омотач пирамиде.
Ивице основе су основне ивице (\( a \)), дужи које повезују врх пирамиде са теменима основе су бочне ивице (\( s \)), а нормално растојање врха од равни основе је висина пирамиде (\( H \)).
Правилна пирамида је пирамида чија је основа правилан многоугао, а подножје висине се пројектује тачно у центар основе (центар уписаног и описаног круга тог многоугла). Њене бочне стране су међусобно подударни једнакокраки троуглови. Висина било које бочне стране назива се апотема (\( h \)).
Карактеристичне Питагорине везе у правилној пирамиди:
- Веза висине, полупречника уписаног круга (\( r \)) и апотеме (\( h \)): \[ h^2 = H^2 + r^2 \]
- Веза висине, полупречника описаног круга (\( R \)) и бочне ивице (\( s \)): \[ s^2 = H^2 + R^2 \]
- Веза на самој бочној страни: \[ s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
- Једнакостранични троугао: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \), \( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \)
- Квадрат: \( r = \frac{a}{2} \), \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \)
- Правилни шестоугао: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), \( R = a \)
Основна ивица правилне четворостране пирамиде је \( a = 6 \text{ cm} \), а висина је \( H = 4 \text{ cm} \). Одреди апотему те пирамиде.
Код правилне четворостране пирамиде је \( r = \frac{a}{2} = 3 \text{ cm} \).
Применом формуле:
\( h = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \).
Применом формуле:
\( h = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \).
\[ P = B + M \]
\[ V = \frac{1}{3} B \cdot H \]
\( B \) – површина основе, \( M \) – површина омотача, \( H \) – висина пирамиде
За разлику од призме, код пирамиде постоји само једна основа, па формула за површину садржи само \( B \), а запремина је једна трећина запремине одговарајуће призме исте основе и исте висине!
| Врста пирамиде | База (\( B \)) | Омотач (\( M \)) | Запремина (\( V \)) |
|---|---|---|---|
| Правилна тространа | \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) | \( 3 \cdot \frac{a \cdot h}{2} \) | \( \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H \) |
| Правилна четворострана | \( a^2 \) | \( 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 2ah \) | \( \frac{1}{3} a^2 \cdot H \) |
| Правилна шестострана | \( 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \) | \( 6 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 3ah \) | \( \frac{1}{3} \cdot \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot H \) |
Дијагонални пресеци пирамида:
- Код правилне четворостране: дијагонални пресек је једнакокраки троугао чија је основица дијагонала квадрата \( d = a\sqrt{2} \), а висина је \( H \). Површина дијагоналног пресека је: \[ P_{\text{дп}} = \frac{d \cdot H}{2} = \frac{a\sqrt{2} \cdot H}{2} \]
- Код правилне шестостране: већи дијагонални пресек је троугао основице \( 2a \) и висине \( H \), па је: \[ P_{\text{вдп}} = \frac{2a \cdot H}{2} = a \cdot H \]
Израчунај запремину правилне тростране једнакоивичне пирамиде чија је ивица \( a = 6 \text{ cm} \).
Код једнакоивичне правилне тростране пирамиде (правилног тетраедра), висина је \( H = \sqrt{\frac{2}{3}} a \), а формула за запремину гласи:
\[ V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \] Заменом \( a = 6 \text{ cm} \):
\( V = \frac{6^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \text{ cm}^3 \).
\[ V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \] Заменом \( a = 6 \text{ cm} \):
\( V = \frac{6^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \text{ cm}^3 \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај површину правилне четворостране пирамиде ако је њена основна ивица \( a = 10 \text{ cm} \), а апотема \( h = 9 \text{ cm} \).
База је квадрат: \( B = a^2 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2 \).
Омотач се састоји од 4 подударна једнакокрака троугла:
\( M = 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 2 \cdot a \cdot h = 2 \cdot 10 \cdot 9 = 180 \text{ cm}^2 \).
Укупна површина:
\( P = B + M = 100 + 180 = 280 \text{ cm}^2 \).
Омотач се састоји од 4 подударна једнакокрака троугла:
\( M = 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 2 \cdot a \cdot h = 2 \cdot 10 \cdot 9 = 180 \text{ cm}^2 \).
Укупна површина:
\( P = B + M = 100 + 180 = 280 \text{ cm}^2 \).
Средњи: Израчунај запремину правилне шестостране пирамиде чија је основна ивица \( a = 2 \text{ cm} \), а висина \( H = 5 \text{ cm} \).
База пирамиде је правилни шестоугао састављен од 6 једнакостраничних троуглова:
\( B = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Запремина:
\( V = \frac{1}{3} B \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 5 = 2\sqrt{3} \cdot 5 = 10\sqrt{3} \text{ cm}^3 \).
\( B = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Запремина:
\( V = \frac{1}{3} B \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 5 = 2\sqrt{3} \cdot 5 = 10\sqrt{3} \text{ cm}^3 \).
Средњи ка тежем: Основна ивица правилне шестостране пирамиде је \( a = 6 \text{ cm} \), а бочна ивица је \( s = 10 \text{ cm} \). Израчунај површину већег дијагоналног пресека те пирамиде.
Већи дијагонални пресек је једнакокраки троугао чија је основица већа дијагонала шестоугла \( d_1 = 2a = 12 \text{ cm} \), краци су бочне ивице \( s = 10 \text{ cm} \), а висина је висина пирамиде \( H \).
Код правилног шестоугла је \( R = a = 6 \text{ cm} \), па висину пирамиде рачунамо из правоуглог троугла:
\( H = \sqrt{s^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \).
Површина пресека је:
\( P_{\text{вдп}} = \frac{d_1 \cdot H}{2} = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48 \text{ cm}^2 \).
Код правилног шестоугла је \( R = a = 6 \text{ cm} \), па висину пирамиде рачунамо из правоуглог троугла:
\( H = \sqrt{s^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \).
Површина пресека је:
\( P_{\text{вдп}} = \frac{d_1 \cdot H}{2} = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48 \text{ cm}^2 \).
Тежак: Површина дијагоналног пресека правилне четворостране пирамиде је \( 48\sqrt{2} \text{ cm}^2 \), а висина пирамиде се према основној ивици односи као \( H : a = 2 : 3 \). Израчунај запремину ове пирамиде.
1. Основица дијагоналног пресека је дијагонала базе \( d = a\sqrt{2} \).
Површина пресека:
\( P_{\text{дп}} = \frac{d \cdot H}{2} = \frac{a\sqrt{2} \cdot H}{2} = 48\sqrt{2} \implies a \cdot H = 96 \).
2. Из односа \( H : a = 2 : 3 \) уводимо коефицијент \( k \): \( H = 2k \), \( a = 3k \).
\( 3k \cdot 2k = 96 \implies 6k^2 = 96 \implies k^2 = 16 \implies k = 4 \text{ cm} \).
Одатле је:
\( a = 3 \cdot 4 = 12 \text{ cm} \),
\( H = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm} \).
3. База је квадрат: \( B = a^2 = 12^2 = 144 \text{ cm}^2 \).
Запремина пирамиде је:
\( V = \frac{1}{3} B \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = 48 \cdot 8 = 384 \text{ cm}^3 \).
Површина пресека:
\( P_{\text{дп}} = \frac{d \cdot H}{2} = \frac{a\sqrt{2} \cdot H}{2} = 48\sqrt{2} \implies a \cdot H = 96 \).
2. Из односа \( H : a = 2 : 3 \) уводимо коефицијент \( k \): \( H = 2k \), \( a = 3k \).
\( 3k \cdot 2k = 96 \implies 6k^2 = 96 \implies k^2 = 16 \implies k = 4 \text{ cm} \).
Одатле је:
\( a = 3 \cdot 4 = 12 \text{ cm} \),
\( H = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm} \).
3. База је квадрат: \( B = a^2 = 12^2 = 144 \text{ cm}^2 \).
Запремина пирамиде је:
\( V = \frac{1}{3} B \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = 48 \cdot 8 = 384 \text{ cm}^3 \).
