Најважније из лекције
- Тачке, праве и равни су основни скупови у простору. Тачке се обележавају великим словима (\( A, B \)), праве малим (\( a, b \)), а равни грчким словима (\( \alpha, \beta \)).
- Колинеарне тачке леже на истој правој. Две тачке увек одређују једну праву.
- Компланарне тачке леже у истој равни. Једну раван јединствено одређују: 3 неколинеарне тачке, права и тачка ван ње, две праве које се секу или две паралелне праве.
- Две праве у простору могу да се секу (1 тачка), буду паралелне (0 тачака, иста раван) или буду мимоилазне (0 тачака, различите равни).
- Права и раван могу бити паралелне, права може припадати равни, или је може продирати у једној тачки.
- Две равни могу бити паралелне или се сећи (њихов пресек је тада права).
Стереометрија је део геометрије који се бави просторним фигурама и односима међу њима (за разлику од планиметрије која проучава равне фигуре).
Простор замишљамо као скуп чији су елементи тачке. Основне врсте подскупова простора су праве и равни.
Тачке се означавају великим словима латинице: \( A, B, C, D, ... \)
Праве се означавају малим словима латинице: \( a, b, c, d, ... \)
Равни се означавају словима грчког алфабета: \( \alpha, \beta, \gamma, \delta, \rho, \pi, ... \)
Праве се означавају малим словима латинице: \( a, b, c, d, ... \)
Равни се означавају словима грчког алфабета: \( \alpha, \beta, \gamma, \delta, \rho, \pi, ... \)
За сваке две различите тачке постоји тачно једна права која их садржи. Праву одређену тачкама \( A \) и \( B \) означавамо са \( p(A, B) \) или краће права \( AB \).
Ако тачка \( A \) припада правој \( p \), пишемо \( A \in p \). Ако не припада, пишемо \( B \notin p \).
За три и више тачака кажемо да су колинеарне ако припадају једној правој, односно неколинеарне ако не постоји права која их садржи све заједно.
Број правих одређених са \( n \) тачака (од којих никоје три нису колинеарне):
\[ \frac{n(n - 1)}{2} \]
Колико правих је одређено са 5 тачака од којих никоје три нису колинеарне?
Користећи формулу \( \frac{n(n - 1)}{2} \) за \( n = 5 \):
\[ \frac{5(5 - 1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
Одговор: Одређено је 10 правих.
Три неколинеарне тачке одређују тачно једну раван. Раван одређену тачкама \( A, B \) и \( C \) означавамо са \( \rho(A, B, C) \) или краће раван \( ABC \).
За четири и више тачака кажемо да су компланарне ако припадају истој равни, односно некомпланарне ако не постоји раван која их све садржи.
Начини одређивања равни: Раван је јединствено одређена ако су дати:
- Три неколинеарне тачке.
- Права и тачка која јој не припада.
- Две праве које се секу.
- Две паралелне праве.
Права и раван у простору могу имати три различита међусобна положаја:
- Права припада равни: Уколико све тачке праве \( p \) припадају равни \( \rho \), пишемо \( p \subset \rho \). (Ако права и раван имају више од једне заједничке тачке, права се налази у тој равни).
- Права продире раван: Ако имају тачно једну заједничку тачку \( P \), пишемо \( p \cap \rho = \{P\} \).
- Права је паралелна са равни: Ако немају заједничких тачака, пишемо \( p \parallel \rho \) (\( p \cap \rho = \emptyset \)).
Две различите праве у простору могу бити:
- Паралелне: Немају заједничких тачака и припадају истој равни. \( a \parallel b \) (\( a \cap b = \emptyset \)).
- Секу се: Имају тачно једну заједничку тачку (припадају истој равни). \( a \cap b = \{P\} \).
- Мимоилазне: Немају заједничких тачака и не припадају истој равни. Ознака: \( a \dot{-} b \).
Ако замислимо коцку \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), праве које садрже ивице \( AB \) и \( CD \) су паралелне. Праве \( AB \) и \( BC \) се секу у тачки \( B \). Праве \( AB \) и \( CC_1 \) су мимоилазне.
Две различите равни у простору могу имати следеће односе:
- Секу се: Имају заједничке тачке. Пресек две равни је увек једна права. Пишемо \( \alpha \cap \beta = p \).
- Паралелне су: Немају заједничких тачака. Пишемо \( \alpha \parallel \beta \) (\( \alpha \cap \beta = \emptyset \)).
Задаци за вежбање
Лак: Како се називају праве у простору које немају заједничких тачака и не припадају истој равни?
Одговор: Такве праве се називају мимоилазне праве.
Средњи: Дато је 6 тачака у простору тако да никоје три нису колинеарне. Колико укупно правих је одређено овим тачкама?
Користимо формулу за број правих: \( \frac{n(n - 1)}{2} \) где је \( n = 6 \).
\[ \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]
Одговор: Одређено је 15 правих.
Тежак: Дата је коцка \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).
а) У каквом су односу праве \( AA_1 \) и \( DC \)?
б) У каквом су односу права \( A_1B_1 \) и раван \( ABCD \)?
в) Шта је пресек равни \( ABCD \) и равни \( BCC_1B_1 \)?
а) У каквом су односу праве \( AA_1 \) и \( DC \)?
б) У каквом су односу права \( A_1B_1 \) и раван \( ABCD \)?
в) Шта је пресек равни \( ABCD \) и равни \( BCC_1B_1 \)?
Одговори:
а) Праве \( AA_1 \) (вертикална) и \( DC \) (хоризонтална, на супротној страни) немају заједничких тачака и не припадају истој равни. Дакле, оне су мимоилазне.
б) Права \( A_1B_1 \) (горња ивица) и раван \( ABCD \) (доња основа) немају заједничких тачака. Права је паралелна са равни.
в) Ове две равни (доња основа и десна бочна страна) се секу по правој која садржи заједничку ивицу. Њихов пресек је права \( BC \).
а) Праве \( AA_1 \) (вертикална) и \( DC \) (хоризонтална, на супротној страни) немају заједничких тачака и не припадају истој равни. Дакле, оне су мимоилазне.
б) Права \( A_1B_1 \) (горња ивица) и раван \( ABCD \) (доња основа) немају заједничких тачака. Права је паралелна са равни.
в) Ове две равни (доња основа и десна бочна страна) се секу по правој која садржи заједничку ивицу. Њихов пресек је права \( BC \).
