Најважније из лекције
- Златно правило: Приликом множења или дељења обе стране неједначине негативним бројем, обавезно окрени знак неједнакости (нпр. \( -2x > 4 \implies x < -2 \)).
- Специјални случајеви: Ако добијеш тачан исказ попут \( 0 < 5 \), решење је \( \mathbb{R} \). Ако добијеш нетачан исказ попут \( 0 > 2 \), решење је празан скуп \( \emptyset \).
- Апсолутна вредност: Неједначина \( |X| < a \) се претвара у пресек \( -a < X < a \), док се \( |X| \ge a \) раздваја на унију \( X \le -a \) или \( X \ge a \).
Решење неједначине је сваки број који, замењујући променљиву у неједначини, неједначину преводи у тачну неједнакост. Решити неједначину значи одредити сва њена решења или утврдити да она нема решења.
Скуп решења неједначине се најчешће описује користећи интервале реалних бројева (нпр. \( x \in (-2, 5] \)) и графички се представља на бројевној правој.
Еквивалентне неједначине: Две неједначине су еквивалентне ако имају исти скуп решења, односно ако је свако решење једне уједно решење и друге, или ако ниједна од њих нема решење.
Правило замене: У неједначини, заменом алгебарског израза њему еквивалентним изразом добијамо нову неједначину, која је еквивалентна полазној.
Правило о додавању/одузимању: Додавањем истог израза на обе стране неједначине (или одузимањем) добијамо еквивалентну неједначину.
Ако је \( A < B \), онда је \( A + C < B + C \).
Ако је \( A < B \), онда је \( A + C < B + C \).
Правило о множењу позитивним бројем: Множењем обе стране неједначине истим позитивним бројем (\( c > 0 \)) добијамо еквивалентну неједначину са истим знаком неједнакости.
Ако је \( A < B \) и \( c > 0 \), онда је \( A \cdot c < B \cdot c \).
Ако је \( A < B \) и \( c > 0 \), онда је \( A \cdot c < B \cdot c \).
Правило о множењу негативним бројем (ПАЖЊА!): Множењем обе стране неједначине истим негативним бројем (\( c < 0 \)), знак неједнакости се мења (нпр. из \(<\) у \(>\)).
Ако је \( A < B \) и \( c < 0 \), онда је \( A \cdot c > B \cdot c \).
Ако је \( A < B \) и \( c < 0 \), онда је \( A \cdot c > B \cdot c \).
Да ли су неједначине \( -2x < 6 \) и \( x < -3 \) еквивалентне?
Не. Када неједначину \( -2x < 6 \) поделимо са негативним бројем \( -2 \), знак неједнакости мора да се промени. Добијамо \( x > -3 \). Дакле, нису еквивалентне.
Линеарна неједначина са једном непознатом се трансформацијама своди на један од облика: \( ax + b < 0, ax + b \le 0, ax + b > 0, ax + b \ge 0 \).
Ослободи се заграда и разломака (ако постоје) користећи правило замене и множења.
Пребаци све непознате на једну страну (обично леву), а познате (бројеве) на другу страну користећи правило о додавању/одузимању.
Среди обе стране да добијеш облик \( ax < -b \) (или сличан).
Подели обе стране коефицијентом \( a \). Ако је \( a \) негативан број, обавезно окрени знак неједнакости!
Реши неједначину: \( 4x + 5 \le 7 + 5x \)
\[ 4x - 5x \le 7 - 5 \]
\[ -x \le 2 \quad / \cdot (-1) \]
\[ x \ge -2 \]
Решење је интервал: \( x \in [-2, +\infty) \).
Када при решавању неједначине све непознате нестану (дођемо до облика \( 0 \cdot x > b \) или сличног), добијамо или тачан или нетачан бројевни исказ.
- Сваки реалан број је решење (\( x \in \mathbb{R} \)): Ако добијемо тачну неједнакост (нпр. \( 0 > -1 \)), то значи да било који број да убацимо, неједначина ће бити тачна.
- Неједначина нема решења (\( x \in \emptyset \)): Ако добијемо нетачну неједнакост (нпр. \( 0 > 1 \)), не постоји број који може задовољити ту неједначину.
Реши неједначину: \( 3x > 3x - 1 \)
\[ 3x - 3x > -1 \]
\[ 0 > -1 \]
Ово је тачно, па је решење скуп свих реалних бројева: \( x \in \mathbb{R} \).
Решавање неједначина у којима је непозната под знаком апсолутне вредности своди се на решавање система линеарних неједначина према следећим правилима (за \( a > 0 \)):
Случај "мање од" (\( <, \le \)):
\[ |X| < a \iff -a < X < a \] (Решавамо две неједначине: \( X > -a \) и \( X < a \), тражимо пресек интервала).
\[ |X| < a \iff -a < X < a \] (Решавамо две неједначине: \( X > -a \) и \( X < a \), тражимо пресек интервала).
Случај "веће од" (\( >, \ge \)):
\[ |X| \ge a \iff X \le -a \quad \text{или} \quad X \ge a \] (Решавамо две неједначине засебно, решење је унија њихових интервала).
\[ |X| \ge a \iff X \le -a \quad \text{или} \quad X \ge a \] (Решавамо две неједначине засебно, решење је унија њихових интервала).
Реши неједначину: \( |2x + 1| < 3 \)
\[ -3 < 2x + 1 < 3 \]
Одузимамо 1 од свих страна:
\[ -4 < 2x < 2 \]
Делимо са 2:
\[ -2 < x < 1 \]
Решење је интервал: \( x \in (-2, 1) \).
Задаци за вежбање
Лак: Реши неједначину и запиши решење у облику интервала: \( 5x - 2 \le 13 \)
\[ 5x - 2 \le 13 \]
\[ 5x \le 13 + 2 \]
\[ 5x \le 15 \]
\[ x \le 3 \]
Одговор: \( x \in (-\infty, 3] \)
Средњи: Реши неједначину: \( \frac{x}{2} + 3 > x - 1 \)
Помножимо целу неједначину са 2 да бисмо се ослободили разломка:
\[ \frac{x}{2} \cdot 2 + 3 \cdot 2 > x \cdot 2 - 1 \cdot 2 \]
\[ x + 6 > 2x - 2 \]
Пребацујемо непознате на леву, познате на десну страну:
\[ x - 2x > -2 - 6 \]
\[ -x > -8 \]
Делимо/множимо са \(-1\) и мењамо знак неједнакости:
\[ x < 8 \]
Одговор: \( x \in (-\infty, 8) \)
Тежак: Реши неједначину са апсолутном вредношћу: \( |3x - 2| \ge 4 \)
Користимо правило за "веће или једнако":
\[ 3x - 2 \le -4 \quad \text{или} \quad 3x - 2 \ge 4 \]
Решавамо прву:
\[ 3x \le -4 + 2 \]
\[ 3x \le -2 \implies x \le -\frac{2}{3} \]
Решавамо другу:
\[ 3x \ge 4 + 2 \]
\[ 3x \ge 6 \implies x \ge 2 \]
Одговор: Решење је унија интервала: \( x \in \left(-\infty, -\frac{2}{3}\right] \cup [2, +\infty) \)
