Изабери решење задатка:
Задатак 1 (бесплатан)
Кратко решење
Крајеви делова дају тачке графика: \( (0,-2),(2,0),(4,-3),(7,-3),(15,5),(17,3),(24,-0{,}5) \).
б) Нула: \( t-2=0\Rightarrow t=2 \); \( -0{,}5t+11{,}5=0\Rightarrow t=23 \). Значи 2 h и 23 h.
в) На \( [7,15] \) нула је у \( t=10 \); позитивна за \( 10 \lt t \lt 23 \), негативна за \( 0\le t \lt 2 \), \( 2 \lt t \lt 10 \) и \( 23 \lt t \le 24 \).
г) Растуће \( (k \gt 0) \): \( [0,2],[7,15] \); опадајуће \( (k \lt 0) \): \( [2,4],[15,17],[17,24] \); константно \( (k=0) \): \( [4,7] \).
д) Максимум \( 5\,^\circ C \) у \( t=15 \). ђ) Минимум \( -3\,^\circ C \).
е) \( T(14)=14-10=4\,^\circ C \); \( T(3)=-1{,}5\cdot3+3=-1{,}5\,^\circ C \).
ж) \( t-10=1\Rightarrow t=11 \); \( -0{,}5t+11{,}5=1\Rightarrow t=21 \). Значи 11 h и 21 h.
Детаљно решење
Уочавање тачака за график (део а)
Функција је задата по деловима као низ линеарних функција. Крајеве сваког интервала израчунавамо да бисмо добили теме изломљене линије: За \( 0 \le t \le 2 \), \( T = t - 2 \): \( T(0) = -2 \), \( T(2) = 0 \). За \( 2 \le t \le 4 \), \( T = -1{,}5t + 3 \): \( T(2) = 0 \), \( T(4) = -3 \). За \( 4 \le t \le 7 \), \( T = -3 \): стална вредност \( -3 \). За \( 7 \le t \le 15 \), \( T = t - 10 \): \( T(7) = -3 \), \( T(15) = 5 \). За \( 15 \le t \le 17 \), \( T = -t + 20 \): \( T(15) = 5 \), \( T(17) = 3 \). За \( 17 \le t \le 24 \), \( T = -0{,}5t + 11{,}5 \): \( T(17) = 3 \), \( T(24) = -0{,}5 \). Вредности се на границама поклапају, па је график непрекидна изломљена линија кроз тачке \( (0,-2),\ (2,0),\ (4,-3),\ (7,-3),\ (15,5),\ (17,3),\ (24,-0{,}5) \), спојене дужима.б) Часови када је \( T = 0 \)
Тражимо где график сече \( t \)-осу. У делу \( T = t - 2 \): \( t - 2 = 0 \Rightarrow t = 2 \) (припада \( [0,2] \)). У делу \( T = -0{,}5t + 11{,}5 \): \( -0{,}5t + 11{,}5 = 0 \Rightarrow t = 23 \) (припада \( [17,24] \)). Остали делови немају нулу у свом интервалу. Дакле, \( T = 0 \) у \( 2 \) h и у \( 23 \) h.в) Знак температуре
Пратимо вредности: од \( t=0 \) (\( -2 \)) до \( t=2 \) (\( 0 \)) температура је негативна; на \( [2,7] \) опада на \( -3 \) и остаје негативна; на \( [7,15] \) расте од \( -3 \) до \( 5 \) и пролази кроз нулу у \( t = 10 \) (\( t - 10 = 0 \)); затим опада, а поново достиже нулу у \( t = 23 \). Дакле, температура је позитивна за \( 10 \lt t \lt 23 \), а негативна за \( 0 \le t \lt 2 \), за \( 2 \lt t \lt 10 \) и за \( 23 \lt t \le 24 \) (нула је у \( t=2 \) и \( t=23 \)).г) Растуће, опадајуће и константне делове
Знак коефицијента правца \( k \) одређује монотоност. \( T = t - 2 \) (\( k = 1 \gt 0 \)) и \( T = t - 10 \) (\( k = 1 \gt 0 \)) су растуће, па је зависност растућа на \( [0,2] \) и \( [7,15] \). \( T = -1{,}5t + 3 \), \( T = -t + 20 \) и \( T = -0{,}5t + 11{,}5 \) имају \( k \lt 0 \), па је зависност опадајућа на \( [2,4] \), \( [15,17] \) и \( [17,24] \). \( T = -3 \) (\( k = 0 \)) је константна на \( [4,7] \).д) Највиша температура
Највећа вредност међи теменима је \( 5\,^\circ C \), достигнута у \( t = 15 \) h.ђ) Најнижа измерена температура
Најмања вредност је \( -3\,^\circ C \) (на делу \( [4,7] \), а иста вредност је и у \( t=4 \) и \( t=7 \)).е) Температура у 14 h и у 3 h
\( t = 14 \) припада \( [7,15] \): \( T = 14 - 10 = 4\,^\circ C \). \( t = 3 \) припада \( [2,4] \): \( T = -1{,}5 \cdot 3 + 3 = -4{,}5 + 3 = -1{,}5\,^\circ C \).ж) Часови када је \( T = 1 \)
У делу \( T = t - 10 \) (\( [7,15] \)): \( t - 10 = 1 \Rightarrow t = 11 \) (припада интервалу). У делу \( T = -0{,}5t + 11{,}5 \) (\( [17,24] \)): \( -0{,}5t + 11{,}5 = 1 \Rightarrow -0{,}5t = -10{,}5 \Rightarrow t = 21 \) (припада интервалу). Остали делови немају вредност \( 1 \) у свом интервалу. Дакле, \( T = 1\,^\circ C \) у \( 11 \) h и у \( 21 \) h.Кратак запис решења:
б) 2 h и 23 h. в) поз. \( 10 \lt t \lt 23 \); нег. \( [0,2)\cup(2,10)\cup(23,24] \). г) раст. \( [0,2],[7,15] \), опад. \( [2,4],[15,17],[17,24] \), конст. \( [4,7] \). д) 15 h (\( 5\,^\circ C \)). ђ) \( -3\,^\circ C \). е) \( 4\,^\circ C \) и \( -1{,}5\,^\circ C \). ж) 11 h и 21 h.
