Најважније из лекције
Елонгација је било које растојање тела од равнотежног положаја, док је амплитуда максимална елонгација.
Период (\(T\)) је време једне пуне осцилације (\([\text{s}]\)), а фреквенција (\(\nu\)) број осцилација у секунди (\([\text{Hz}]\)), при чему важи \(\nu = \frac{1}{T}\).
Тело на опрузи: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\) (зависи од масе \(m\) и константе еластичности \(k\)).
Математичко клатно: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\) (зависи искључиво од дужине клатна \(l\) и убрзања \(g\), независно од масе и амплитуде).
Хармонијске осцилације: осцилације код којих је повратна сила сразмерна елонгацији.
Период (\(T\)) је време једне пуне осцилације (\([\text{s}]\)), а фреквенција (\(\nu\)) број осцилација у секунди (\([\text{Hz}]\)), при чему важи \(\nu = \frac{1}{T}\).
Тело на опрузи: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\) (зависи од масе \(m\) и константе еластичности \(k\)).
Математичко клатно: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\) (зависи искључиво од дужине клатна \(l\) и убрзања \(g\), независно од масе и амплитуде).
Хармонијске осцилације: осцилације код којих је повратна сила сразмерна елонгацији.
Осцилаторно кретање је периодично кретање тела које се наизменично понавља око равнотежног положаја.
Равнотежни положај је положај у коме се тело налази у стању мировања када је збир свих сила које делују на њега једнак нули.
Када се тело изведе из равнотежног положаја и пусти:
- Резултујућа сила тежи да врати тело у равнотежни положај (убрзано кретање ка равнотежи).
- При проласку кроз равнотежни положај резултујућа сила је једнака нули, а тело наставља кретање услед инерције (успорава док се не заустави у супротном крајњем положају).
Елонгација је свако растојање тела које осцилује од његовог равнотежног положаја у посматраном тренутку.
Амплитуда је највеће (максимално) растојање тела од равнотежног положаја.
Основна мерна јединица за елонгацију и амплитуду је метар (\(\text{m}\)).
Ако се тело при осциловању удаљи највише \(5\text{ cm}\) изнад и испод равнотежног положаја, његова амплитуда износи \(A = 5\text{ cm} = 0{,}05\text{ m}\).
Период осциловања (\(T\)) је време за које тело изврши једну пуну осцилацију (најкраће време након ког тело поново доспе у исту тачку са истим смером брзине).
Јединица за период осциловања је секунда (\(\text{s}\)).
Фреквенција или учестаност (\(\nu\)) је број осцилација извршених у јединици времена (једнака је реципрочној вредности периода).
Јединица за фреквенцију је херц (\(\text{Hz}\)), где је \(1\text{ Hz} = \frac{1}{\text{s}}\).
\[ \nu = \frac{1}{T} \qquad \Longleftrightarrow \qquad T = \frac{1}{\nu} \]
\(\nu\) – фреквенција [\(\text{Hz}\)], \(T\) – период осциловања [\(\text{s}\)]
Ако клатно изврши једну пуну осцилацију за време \(T = 0{,}2\text{ s}\), његова фреквенција износи:
\[ \nu = \frac{1}{0{,}2\text{ s}} = 5\text{ Hz} \]
Период осциловања тела окаченог о еластичну опругу зависи од масе тог тела и од крутости (константе еластичности) опруге.
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
\(m\) – маса тела [\(\text{kg}\)], \(k\) – константа еластичности опруге [\(\text{N/m}\)]
Период осциловања тела на опрузи се повећава када се маса тела повећа, а смањује се када се користи крућа опруга (веће \(k\)).
Математичко клатно је модел који чини куглица занемарљивих димензија окачена о неистегљив конац занемарљиве масе.
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]
\(l\) – дужина клатна [\(\text{m}\)], \(g\) – убрзање Земљине теже (\(\approx 9{,}81\text{ m/s}^2\))
За мале углове отклона, период математичког клатна зависи само од његове дужине и убрзања Земљине теже. Период не зависи од масе куглице нити од амплитуде (изохронизам).
Хармонијске осцилације су најједноставније осцилације, код којих је резултујућа (повратна) сила сразмерна елонгацији и усмерена ка равнотежном положају.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело изврши једну пуну осцилацију за \(0{,}05\text{ s}\). Одредити фреквенцију осциловања овог тела.
Познато је: \(T = 0{,}05\text{ s}\).
Користимо формулу за фреквенцију: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}05\text{ s}} = 20\text{ Hz} \] Одговор: Фреквенција осциловања тела је \(20\text{ Hz}\).
Користимо формулу за фреквенцију: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}05\text{ s}} = 20\text{ Hz} \] Одговор: Фреквенција осциловања тела је \(20\text{ Hz}\).
Задатак 2 (средњи): Тело масе \(m = 0{,}1\text{ kg}\) осцилује окачено о опругу константе еластичности \(k = 40\text{ N/m}\). Израчунати период осциловања овог система. (Узети \(\pi \approx 3{,}14\)).
Познато је: \(m = 0{,}1\text{ kg}\), \(k = 40\text{ N/m}\).
Примењујемо формулу за период осциловања опруге: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\frac{0{,}1}{40}} = 6{,}28 \cdot \sqrt{0{,}0025} \] \[ T = 6{,}28 \cdot 0{,}05\text{ s} = 0{,}314\text{ s} \] Одговор: Период осциловања износи \(0{,}314\text{ s}\).
Примењујемо формулу за период осциловања опруге: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\frac{0{,}1}{40}} = 6{,}28 \cdot \sqrt{0{,}0025} \] \[ T = 6{,}28 \cdot 0{,}05\text{ s} = 0{,}314\text{ s} \] Одговор: Период осциловања износи \(0{,}314\text{ s}\).
Задатак 3 (тежи): Како ће се променити период осциловања математичког клатна ако му се дужина повећа \(4\) пута? Шта се дешава са периодом ако се маса куглице повећа \(3\) пута, а угао отклона удвостручи (при малим угловима)?
Период математичког клатна рачуна се као \(T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\).
1. Када се дужина повећа \(4\) пута (\(l_2 = 4l\)): \[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{g}} = 2 \cdot \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right) = 2 T_1 \] Период осциловања ће се повећати \(2\) пута.
2. Период математичког клатна не зависи од масе куглице нити од амплитуде отклона (за мале углове), тако да се у тим случајевима период неће променити.
1. Када се дужина повећа \(4\) пута (\(l_2 = 4l\)): \[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{g}} = 2 \cdot \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right) = 2 T_1 \] Период осциловања ће се повећати \(2\) пута.
2. Период математичког клатна не зависи од масе куглице нити од амплитуде отклона (за мале углове), тако да се у тим случајевима период неће променити.
