Најважније из лекције
Писмено множење двоцифреним бројем: Први чинилац множимо прво јединицама, а затим десетицама другог чиниоца. Делимични производ са десетицама обавезно померамо за једно место улево, а затим сабирамо оба делимична производа.
Пример: При рачунању \( 94 \cdot 25 \), сабирамо \( 470 \) (\( 94 \cdot 5 \)) и \( 1880 \) (\( 94 \cdot 20 \)) да добијемо \( 2350 \).
Поређење без рачунања: Производ са већим чиниоцем је увек већи уколико је други чинилац исти (нпр. \( 134 \cdot 18 > 134 \cdot 10 \)).
Пример: При рачунању \( 94 \cdot 25 \), сабирамо \( 470 \) (\( 94 \cdot 5 \)) и \( 1880 \) (\( 94 \cdot 20 \)) да добијемо \( 2350 \).
Поређење без рачунања: Производ са већим чиниоцем је увек већи уколико је други чинилац исти (нпр. \( 134 \cdot 18 > 134 \cdot 10 \)).
Писмено множење двоцифреним бројем заснива се на дистрибутивности множења према сабирању: двоцифрени чинилац растављамо на збир десетица и јединица, па први чинилац множимо сваким сабирком посебно.
\[ a \cdot (d + j) = a \cdot j + a \cdot d \]
Множење јединицама: Први чинилац помножимо бројем јединица другог чиниоца и резултат запишемо у први ред испод црте.
Множење десетицама: Први чинилац помножимо бројем десетица другог чиниоца. Добијени делимични производ потписујемо испод првог, али померен за једно место улево (почињемо испод цифре десетица).
Сабирање: Саберемо оба делимична производа водећи рачуна о месним вредностима цифара.
Израчунајмо производ \( 94 \cdot 25 \):
\[ 94 \cdot 25 = 94 \cdot (20 + 5) = 94 \cdot 5 + 94 \cdot 20 \]
Поступак потписивања:
\[
\begin{array}{r}
\underline{94 \cdot 25} \\
470 \quad (94 \cdot 5) \\
+ 188\phantom{0} \quad (94 \cdot 20) \\
\hline
2350
\end{array}
\]
Израчунај писмено производ бројева \( 38 \cdot 14 \).
\[
\begin{array}{r}
\underline{38 \cdot 14} \\
152 \quad (38 \cdot 4) \\
+ 38\phantom{0} \quad (38 \cdot 10) \\
\hline
532
\end{array}
\]
Одговор: Производ је \( 532 \).
Исти алгоритам писменог множења примењује се и када први чинилац има три, четири, пет или више цифара.
Приликом множења са више цифара, обавезно пазите на памћење десетица и њихово додавање на следећи производ, као и на правилно потписивање цифара једне испод друге приликом крајњег сабирања.
Примери множења троцифреног, четвороцифреног и петоцифреног броја:
\[
\begin{array}{r@{\qquad}r@{\qquad}r}
\underline{194 \cdot 25} & \underline{2194 \cdot 25} & \underline{12194 \cdot 25} \\
970 & 10970 & 60970 \\
+ 388\phantom{0} & + 4388\phantom{0} & + 24388\phantom{0} \\
\hline
4850 & 54850 & 304850
\end{array}
\]
Израчунај производ бројева \( 214 \cdot 32 \).
\[
\begin{array}{r}
\underline{214 \cdot 32} \\
428 \quad (214 \cdot 2) \\
+ 642\phantom{0} \quad (214 \cdot 30) \\
\hline
6848
\end{array}
\]
Одговор: Производ је \( 6848 \).
Ако су у два производа једни чиниоци једнаки, већи је онај производ чији је други чинилац већи:
\[ \text{Ако је } a = c \text{ и } b > d, \text{ тада је } a \cdot b > c \cdot d \]
Упоредимо следеће изразе без израчунавања:
- \( 27 \cdot 60 < 29 \cdot 60 \) (јер је \( 27 < 29 \), а други чинилац \( 60 \) је исти)
- \( 134 \cdot 18 > 134 \cdot 10 \) (јер је \( 18 > 10 \), а чинилац \( 134 \) је исти)
- \( 424 \cdot 33 > 424 \cdot 23 \) (јер је \( 33 > 23 \))
- \( 379 \cdot 14 < 16 \cdot 379 \) (јер је \( 14 < 16 \))
Упореди без израчунавања вредности израза \( 1065 \cdot 80 \) и \( 1065 \cdot 8 \).
Пошто је први чинилац у оба израза исти (\( 1065 \)), поредимо друге чиниоце: како је \( 80 > 8 \), следи:
\[ 1065 \cdot 80 > 1065 \cdot 8 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност производа \( 156 \cdot 12 \).
\[
\begin{array}{r}
\underline{156 \cdot 12} \\
312 \\
+ 156\phantom{0} \\
\hline
1872
\end{array}
\]
Одговор: \( 156 \cdot 12 = 1872 \).
Задатак 2 (средњи): У картонску кутију спаковано је \( 156 \) кесица бомбона. Маса једне кесице је \( 75\text{ g} \). Колика је маса свих кесица у кутији у грамима?
Масу рачунамо множењем броја кесица масом једне кесице: \( 156 \cdot 75 \).
\[
\begin{array}{r}
\underline{156 \cdot 75} \\
780 \quad (156 \cdot 5) \\
+ 1092\phantom{0} \quad (156 \cdot 70) \\
\hline
11700
\end{array}
\]
Одговор: Укупна маса свих кесица у кутији је \( 11700\text{ g} \) (односно \( 11\text{ kg } 700\text{ g} \)).
Задатак 3 (средњи): Напиши одговарајући математички израз и израчунај његову вредност: Производ бројева \( 114 \) и \( 14 \) увећај за \( 13657 \).
Израз гласи: \( 114 \cdot 14 + 13657 \).
Прво израчунавамо производ: \[ \begin{array}{r} \underline{114 \cdot 14} \\ 456 \\ + 114\phantom{0} \\ \hline 1596 \end{array} \] Затим додајемо \( 13657 \): \[ 1596 + 13657 = 15253 \] Одговор: Вредност израза је \( 15253 \).
Прво израчунавамо производ: \[ \begin{array}{r} \underline{114 \cdot 14} \\ 456 \\ + 114\phantom{0} \\ \hline 1596 \end{array} \] Затим додајемо \( 13657 \): \[ 1596 + 13657 = 15253 \] Одговор: Вредност израза је \( 15253 \).
Задатак 4 (тежак): Помоћу цифара \( 2 \) и \( 9 \) запиши све двоцифрене бројеве (цифре се могу понављати), а затим израчунај производ највећег и најмањег тако добијеног броја.
Двоцифрени бројеви састављени од цифара \( 2 \) и \( 9 \) су: \( 22, 29, 92, 99 \).
Најмањи број је \( 22 \), а највећи број је \( 99 \).
Рачунамо њихов производ \( 99 \cdot 22 \): \[ \begin{array}{r} \underline{99 \cdot 22} \\ 198 \\ + 198\phantom{0} \\ \hline 2178 \end{array} \] Одговор: Производ највећег и најмањег броја је \( 2178 \).
Најмањи број је \( 22 \), а највећи број је \( 99 \).
Рачунамо њихов производ \( 99 \cdot 22 \): \[ \begin{array}{r} \underline{99 \cdot 22} \\ 198 \\ + 198\phantom{0} \\ \hline 2178 \end{array} \] Одговор: Производ највећег и најмањег броја је \( 2178 \).
