Најважније из лекције
Остатак и делилац: При дељењу бројем \(d\), остатак увек припада скупу \(\{0, 1, 2, \dots, d - 1\}\). За парни делилац \(2\), парни бројеви дају остатак \(0\), а сви непарни бројеви остатак \(1\).
Формула за дељеник: \(\text{дељеник} = \text{делилац} \cdot \text{количник} + \text{остатак}\).
Пример: \(17 : 5 = 3\) (ост. \(2\)) \(\longrightarrow 5 \cdot 3 + 2 = 17\).
Формула за дељеник: \(\text{дељеник} = \text{делилац} \cdot \text{количник} + \text{остатак}\).
Пример: \(17 : 5 = 3\) (ост. \(2\)) \(\longrightarrow 5 \cdot 3 + 2 = 17\).
Остатак при дељењу мора увек бити строго мањи од делиоца!
При дељењу природног броја неким бројем \(d\), могући остаци су сви цели бројеви од \(0\) до \(d - 1\).
- При дељењу бројем \(2\), могући остаци су \(0\) (за парне бројеве) и \(1\) (за непарне бројеве).
- При дељењу бројем \(4\), могући остаци су \(0, 1, 2, 3\).
- При дељењу бројем \(6\), могући остаци су \(0, 1, 2, 3, 4, 5\).
- При дељењу бројем \(9\), могући остаци су \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\).
Ако је остатак при дељењу једнак \(0\), кажемо да је број дељив датим делиоцем без остатка.
Који све остаци могу настати приликом дељења неког броја бројем \(5\)?
Пошто остатак мора бити мањи од делиоца (\(5\)), могући остаци су: \(0, 1, 2, 3\) и \(4\).
Дељеник је једнак производу делиоца и количника, увећаном за остатак.
\[ \text{дељеник} = \text{делилац} \cdot \text{количник} + \text{остатак} \quad (\text{остатак} < \text{делилац}) \]
Ако при дељењу бројем \(8\) добијемо количник \(678\) и остатак \(5\), дељеник израчунавамо овако:
\[ \text{дељеник} = 8 \cdot 678 + 5 = 5\,424 + 5 = 5\,429 \]
Одреди дељеник ако је количник \(9\,087\), делилац \(4\), а остатак \(2\).
Примењујемо правило за одређивање дељеника:
\[ \text{дељеник} = 4 \cdot 9\,087 + 2 = 36\,348 + 2 = 36\,350 \]
Одговор: Дељеник је \(36\,350\).
Дељење почињемо од највеће месне вредности (с леве на десну страну), одређујући колико се пута делилац садржи у почетном делу дељеника.
Записујемо цифру количника, множимо је делиоцем и одузимамо тај производ како бисмо добили међуостатак.
Потписујемо следећу цифру дељеника поред међуостатка и понављамо поступак.
Након што спустимо и поделимо последњу цифру, крајња разлика представља коначни остатак.
Дељење \(2\,257 : 2\):
\(2 : 2 = 1\)
\(2 : 2 = 1\)
\(5 : 2 = 2\) (разлика \(1\))
\(17 : 2 = 8\) (разлика \(1\))
Резултат: \(2\,257 : 2 = 1\,128\) (ост. \(1\)).
\(2 : 2 = 1\)
\(2 : 2 = 1\)
\(5 : 2 = 2\) (разлика \(1\))
\(17 : 2 = 8\) (разлика \(1\))
Резултат: \(2\,257 : 2 = 1\,128\) (ост. \(1\)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај количник и остатак при дељењу \(40\,852 : 5\).
Поступак дељења:
\(40 : 5 = 8\)
\(8 : 5 = 1\) (остаје \(3\))
\(35 : 5 = 7\)
\(2 : 5 = 0\) (остаје \(2\))
Одговор: \(40\,852 : 5 = 8\,170\) (ост. \(2\)).
Провера: \(5 \cdot 8\,170 + 2 = 40\,850 + 2 = 40\,852\).
\(40 : 5 = 8\)
\(8 : 5 = 1\) (остаје \(3\))
\(35 : 5 = 7\)
\(2 : 5 = 0\) (остаје \(2\))
Одговор: \(40\,852 : 5 = 8\,170\) (ост. \(2\)).
Провера: \(5 \cdot 8\,170 + 2 = 40\,850 + 2 = 40\,852\).
Задатак 2 (средњи): Јован и његова два брата желе да поделе \(3\,490\) динара на једнаке делове. Колико ће новца добити сваки од њих, а колико ће новца остати неподељено?
Новац деле укупно 3 брата (Јован и два брата), па делимо бројем 3:
\[ 3\,490 : 3 = 1\,163 \text{ (ост. } 1) \]
Јер је \(3 \cdot 1\,163 = 3\,489\), а \(3\,490 - 3\,489 = 1\).
Одговор: Сваки од њих ће добити по \(1\,163\) динара, а неподељен ће остати \(1\) динар.
Одговор: Сваки од њих ће добити по \(1\,163\) динара, а неподељен ће остати \(1\) динар.
Задатак 3 (средњи): У једну кутију пакује се по \(6\) чаша. Колико је пуних кутија потребно да се спакује \(1\,256\) чаша и колико ће чаша остати неспаковано?
Делимо укупан број чаша бројем чаша у једној кутији:
\[ 1\,256 : 6 = 209 \text{ (ост. } 2) \]
Јер је \(6 \cdot 209 = 1\,254\), а \(1\,256 - 1\,254 = 2\).
Одговор: Потребно је \(209\) пуних кутија, а \(2\) чаше ће остати неспаковане.
Одговор: Потребно је \(209\) пуних кутија, а \(2\) чаше ће остати неспаковане.
Задатак 4 (тежак): Весна је требало да подели неки број бројем \(6\), али је погрешила и поделила га бројем \(4\), па је добила количник \(6\,574\) и остатак \(2\). Који је то број требало да подели и који би количник добила тачним дељењем?
1. Корак: Одређујемо број који је Весна делила (непознати дељеник):
\[ \text{дељеник} = 4 \cdot 6\,574 + 2 = 26\,296 + 2 = 26\,298 \]
2. Корак: Сада тај број делимо правим делиоцем (\(6\)):
\[ 26\,298 : 6 = 4\,383 \text{ (ост. } 0) \]
Одговор: Весна је требало да подели број \(26\,298\), и тачним дељењем добила би количник \(4\,383\) без остатка.
