Најважније из лекције
Површина тела: Збир површина свих његових граничних површи.
Коцка: Све ивице су једнаке (\( a \)).
• Површина: \( P = 6 \cdot a \cdot a \)
• Збир свих 12 ивица: \( s = 12 \cdot a \)
Пример: За \( a = 3\text{ cm} \implies P = 6 \cdot 3^2 = 54\text{ cm}^2 \).
Квадар: Три различите ивице (\( a, b, c \)).
• Површина: \( P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \)
• Збир свих 12 ивица: \( s = 4 \cdot (a + b + c) \)
Пример: За \( a = 2, b = 3, c = 4 \implies P = 2 \cdot (6 + 8 + 12) = 52 \).
Важно правило: Пре рачунања све димензије морају бити у истим јединицама мере!
Коцка: Све ивице су једнаке (\( a \)).
• Површина: \( P = 6 \cdot a \cdot a \)
• Збир свих 12 ивица: \( s = 12 \cdot a \)
Пример: За \( a = 3\text{ cm} \implies P = 6 \cdot 3^2 = 54\text{ cm}^2 \).
Квадар: Три различите ивице (\( a, b, c \)).
• Површина: \( P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \)
• Збир свих 12 ивица: \( s = 4 \cdot (a + b + c) \)
Пример: За \( a = 2, b = 3, c = 4 \implies P = 2 \cdot (6 + 8 + 12) = 52 \).
Важно правило: Пре рачунања све димензије морају бити у истим јединицама мере!
Површина геометријског тела представља збир површина свих површи (страна) које га ограничавају. Означава се великим словом \( P \).
Мрежа геометријског тела је приказ свих његових страна развијених у једној равни, тако да се њиховим савијањем и склапањем може формирати то тело.
Пре израчунавања површине, све ивице тела морају бити изражене у истој мерној јединици (\(\text{mm}\), \(\text{cm}\), \(\text{dm}\) или \(\text{m}\)). Мерне јединице за површину су квадратне (\(\text{mm}^2\), \(\text{cm}^2\), \(\text{dm}^2\), \(\text{m}^2\)).
Квадар је геометријско тело омеђено са шест правоугаоника. Наспрамне стране квадра су подударни (једнаки) правоугаоници.
Ивице квадра се најчешће означавају са \( a \) (дужина), \( b \) (ширина) и \( c \) (висина).
\[ P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \]
односно: \( P = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c \)
Квадар има укупно 12 ивица: четири дужине \( a \), четири ширине \( b \) и четири висине \( c \). Збир свих ивица квадра (\( s \)) рачуна се као:
\[ s = 4 \cdot a + 4 \cdot b + 4 \cdot c = 4 \cdot (a + b + c) \]
Израчунај површину квадра чије су ивице \( a = 6\text{ cm} \), \( b = 5\text{ cm} \) и \( c = 4\text{ cm} \):
\[ P = 2 \cdot (6 \cdot 5 + 6 \cdot 4 + 5 \cdot 4) = 2 \cdot (30 + 24 + 20) = 2 \cdot 74 = 148\text{ cm}^2 \]
Израчунај површину квадра чије су димензије \( a = 70\text{ cm} \), \( b = 15\text{ cm} \) и \( c = 4\text{ dm} \).
Прво претварамо све дужине у исту јединицу: \( c = 4\text{ dm} = 40\text{ cm} \).
Рачунамо површину: \[ P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \] \[ P = 2 \cdot (70 \cdot 15 + 70 \cdot 40 + 15 \cdot 40) \] \[ P = 2 \cdot (1050 + 2800 + 600) = 2 \cdot 4450 = 8900\text{ cm}^2 \] Одговор: Површина квадра је \( 8900\text{ cm}^2 \) (или \( 89\text{ dm}^2 \)).
Рачунамо површину: \[ P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \] \[ P = 2 \cdot (70 \cdot 15 + 70 \cdot 40 + 15 \cdot 40) \] \[ P = 2 \cdot (1050 + 2800 + 600) = 2 \cdot 4450 = 8900\text{ cm}^2 \] Одговор: Површина квадра је \( 8900\text{ cm}^2 \) (или \( 89\text{ dm}^2 \)).
Коцка је посебан случај квадра код кога су све ивице једнаке дужине (\( a = b = c \)). Омеђена је са шест једнаких квадрата странице \( a \).
Површина једне стране коцке је површина квадрата: \( P_1 = a \cdot a = a^2 \). Пошто има 6 таквих страна, укупна површина је 6 пута већа.
\[ P = 6 \cdot a \cdot a \quad (P = 6 \cdot a^2) \]
Коцка има 12 једнаких ивица дужине \( a \). Збир свих њених ивица рачуна се по формули:
\[ s = 12 \cdot a \]
Израчунај површину коцке чија је ивица \( a = 9\text{ cm} \):
\[ P = 6 \cdot a \cdot a = 6 \cdot 9 \cdot 9 = 6 \cdot 81 = 486\text{ cm}^2 \]
Ако је површина једне стране коцке \( 25\text{ cm}^2 \), колика је укупна површина те коцке?
Коцка има шест једнаких страна:
\[ P = 6 \cdot P_1 = 6 \cdot 25\text{ cm}^2 = 150\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина коцке је \( 150\text{ cm}^2 \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај површину коцке чија је ивица дужине \( a = 7\text{ cm} \).
Користимо формулу за површину коцке:
\[ P = 6 \cdot a \cdot a \]
\[ P = 6 \cdot 7 \cdot 7 = 6 \cdot 49 = 294\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина коцке је \( 294\text{ cm}^2 \).
Средњи: Збир дужина свих ивица једне коцке износи \( 96\text{ cm} \). Израчунај површину те коцке.
Коцка има 12 једнаких ивица:
\[ s = 12 \cdot a = 96\text{ cm} \implies a = 96 : 12 = 8\text{ cm} \]
Сада израчунавамо површину:
\[ P = 6 \cdot a \cdot a = 6 \cdot 8 \cdot 8 = 6 \cdot 64 = 384\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина коцке је \( 384\text{ cm}^2 \).
Средњи: Колико је \( \text{cm}^2 \) картона потребно да се направи кутија облика квадра дужине \( 3\text{ dm} \), ширине \( 25\text{ cm} \) и висине \( 1\text{ dm } 7\text{ cm} \)?
Прво претварамо све димензије у центиметре:
\( a = 3\text{ dm} = 30\text{ cm} \)
\( b = 25\text{ cm} \)
\( c = 1\text{ dm } 7\text{ cm} = 17\text{ cm} \)
Рачунамо површину квадра: \[ P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \] \[ P = 2 \cdot (30 \cdot 25 + 30 \cdot 17 + 25 \cdot 17) \] \[ P = 2 \cdot (750 + 510 + 425) = 2 \cdot 1685 = 3370\text{ cm}^2 \] Одговор: Потребно је \( 3370\text{ cm}^2 \) картона.
\( a = 3\text{ dm} = 30\text{ cm} \)
\( b = 25\text{ cm} \)
\( c = 1\text{ dm } 7\text{ cm} = 17\text{ cm} \)
Рачунамо површину квадра: \[ P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \] \[ P = 2 \cdot (30 \cdot 25 + 30 \cdot 17 + 25 \cdot 17) \] \[ P = 2 \cdot (750 + 510 + 425) = 2 \cdot 1685 = 3370\text{ cm}^2 \] Одговор: Потребно је \( 3370\text{ cm}^2 \) картона.
Тежак: Збир дужина свих ивица квадра износи \( 56\text{ cm} \). Ако је дужина квадра \( a = 6\text{ cm} \), а ширина \( b = 3\text{ cm} \), израчунај његову површину.
1. Збир свих 12 ивица квадра дат је формулом \( s = 4 \cdot (a + b + c) \):
\[ 4 \cdot (6 + 3 + c) = 56 \]
\[ 9 + c = 56 : 4 \]
\[ 9 + c = 14 \implies c = 14 - 9 = 5\text{ cm} \]
2. Рачунамо површину са ивицама \( a = 6\text{ cm} \), \( b = 3\text{ cm} \), \( c = 5\text{ cm} \):
\[ P = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \]
\[ P = 2 \cdot (6 \cdot 3 + 6 \cdot 5 + 3 \cdot 5) = 2 \cdot (18 + 30 + 15) = 2 \cdot 63 = 126\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина квадра је \( 126\text{ cm}^2 \).
