Изабери решење задатка:
Задатак 1 (бесплатан)
Кратко решење
Ивица \( a = 6 \). Дијагонала стране \( d = 6\sqrt{2} \), просторна дијагонала \( D = 6\sqrt{3} \).
а) Једнакостраничан троугао странице \( 6\sqrt{2} \): \( P_a = \frac{(6\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \).
б) Правилан шестоугао странице \( s = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \): \( P_b = \frac{3\sqrt{3}}{2}(3\sqrt{2})^2 = 27\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \).
в) Правоугли троугао са катетама \( 6 \) и \( 6\sqrt{2} \): \( P_v = \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \, \text{cm}^2 \).
Детаљно решење
Полазни подаци
Ивица коцке је \( a = 6 \, \text{cm} \). Дијагонала стране коцке износи \( d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \, \text{cm} \), а просторна дијагонала \( D = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \, \text{cm} \).а) Једнакостранични троугао
Све три странице троугла су дијагонале страна коцке, па су међусобно једнаке: \( d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \, \text{cm} \). Троугао је зато једнакостраничан са страницом \( t = 6\sqrt{2} \, \text{cm} \). Површина једнакостраничног троугла је \[ P_a = \frac{t^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{72\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \approx 31{,}18 \, \text{cm}^2. \]б) Правилан шестоугао
Раван пролази кроз средишта шест ивица коцке. Свака страница шестоугла спаја средишта две суседне ивице једне стране, па је једнака половини дијагонале те стране: \[ s = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \, \text{cm}. \] Правилан шестоугало се састоји од шест једнакостраничних троуглова странице \( s \), па је његова површина \[ P_b = 6 \cdot \frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\, s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot (3\sqrt{2})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 18 = 27\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \approx 46{,}77 \, \text{cm}^2. \]в) Правоугли троугао
Странице троугла су: ивица коцке (вертикална ивица) дужине \( a = 6 \, \text{cm} \), дијагонала доње стране дужине \( d = 6\sqrt{2} \, \text{cm} \) и просторна дијагонала дужине \( D = 6\sqrt{3} \, \text{cm} \). Провера правог угла (Питагорина теорема): \[ a^2 + d^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 = 36 + 72 = 108 = (6\sqrt{3})^2 = D^2. \] Пошто важи \( a^2 + d^2 = D^2 \), угао између ивице \( a \) и дијагонале доње стране \( d \) је прав, па су то катете, а \( D \) је хипотенуза. Површина правоуглог троугла је \[ P_v = \frac{1}{2}\cdot a \cdot d = \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \, \text{cm}^2 \approx 25{,}46 \, \text{cm}^2. \]Кратак запис решења:
а) \( 18\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \); б) \( 27\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \); в) \( 18\sqrt{2} \, \text{cm}^2 \).
