IV.4. На Крају Поглавља

Решење: Полазни подаци Ивица коцке је \( a = 6 \, \text{cm} \). Дијагонала стране коцке износи \( d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \, \text{cm} \), а просторна дијагонала \( D = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \, \text{cm} \). а) Једнакостранични троугао Све три странице троугла су дијагонале страна коцке, па су међусобно једнаке: \( d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \, \text{cm} \). Троугао је зато једнакостраничан са страницом \( t = 6\sqrt{2} \, \text{cm} \). Површина једнакостраничног троугла је \[ P_a = \frac{t^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{72\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \approx 31{,}18 \, \text{cm}^2. \] б) Правилан шестоугао Раван пролази кроз средишта шест ивица коцке. Свака страница шестоугла спаја средишта две суседне ивице једне стране, па је једнака половини дијагонале те стране: \[ s = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \, \text{cm}. \] Правилан шестоугало се састоји од шест једнакостраничних троуглова странице \( s \), па је његова површина \[ P_b = 6 \cdot \frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\, s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot (3\sqrt{2})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 18 = 27\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \approx 46{,}77 \, \text{cm}^2. \] в) Правоугли троугао Странице троугла су: ивица коцке (вертикална ивица) дужине \( a = 6 \, \text{cm} \), дијагонала доње стране дужине \( d = 6\sqrt{2} \, \text{cm} \) и просторна дијагонала дужине \( D = 6\sqrt{3} \, \text{cm} \). Провера правог угла (Питагорина теорема): \[ a^2 + d^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 = 36 + 72 = 108 = (6\sqrt{3})^2 = D^2. \] Пошто важи \( a^2 + d^2 = D^2 \), угао између ивице…