Најважније из лекције
Преглед основних формула за призму:
- Површина: \(P = 2B + M\), где је \(M = O_B \cdot H\) (омотач чине бочне стране).
- Запремина: \(V = B \cdot H\).
- Просторна дијагонала: \(D = \sqrt{d^2 + H^2}\) (где је \(d\) дијагонала основе).
- Коцка: \(P = 6a^2, \quad V = a^3, \quad D = a\sqrt{3}\). (Пример: за \(a = 2\text{ cm}\implies P = 24\text{ cm}^2, V = 8\text{ cm}^3\)).
- Квадар: \(P = 2(ab + bc + ca), \quad V = abc, \quad D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\).
- Правилна тространа: \(B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \quad M = 3aH, \quad V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}H\).
- Правилна четворострана: \(B = a^2, \quad M = 4aH, \quad V = a^2H\).
- Правилна шестострана: \(B = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}, \quad M = 6aH, \quad V = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}H\).
Права призма је геометријско тело ограничено са два подударна многоугла која леже у паралелним равнима (основе или базе) и правоугаоницима који спајају њихове одговарајуће странице (бочне стране).
\(B\) – површина основе (базе); \(M\) – површина омотача; \(H\) – висина призме; \(a, b, c\) – основне ивице.
Основе (базе): два подударна многоугла у паралелним равнима. Према броју страница основе, призма је тространа, четворострана, шестострана итд.
Омотач: унија свих бочних страна призме. Код праве призме, све бочне стране су правоугаоници чије су дужине једнаке висини призме \(H\).
Правилна призма: права призма чија је основа правилан многоугао (једнакостранични троугао, квадрат, правилан шестоугао...). Све бочне стране правилне призме су међусобно подударни правоугаоници.
Једнакоивична призма: призма код које су све основне и све бочне ивице међусобно једнаке (\(H = a\)). Бочне стране су квадрати.
Паралелепипед је четворострана призма чије су основе паралелограми. Квадар је паралелепипед чије су основе правоугаоници, а коцка је једнакоивични квадар чије су све стране квадрати.
Колико темена, ивица и страна има шестострана призма?
Шестострана призма у основи има шестоугао (\(n = 6\)):
- Број темена: \(2n = 2 \cdot 6 = 12\)
- Број ивица: \(3n = 3 \cdot 6 = 18\) (6 основних доле, 6 основних горе и 6 бочних)
- Број страна: \(n + 2 = 6 + 2 = 8\) (2 основе и 6 бочних страна)
Дијагонала призме (\(D\)) је свака дуж која спаја два темена која не припадају истој страни. Тространа призма нема дијагонале, док четворострана призма има четири просторне дијагонале.
Дијагонала призме (просторна дијагонала) разликује се од дијагонале основе (\(d\)) и дијагонале бочне стране!
Дијагонала праве призме (\(D\)) је хипотенуза правоуглог троугла чије су катете дијагонала основе (\(d\)) и висина призме (\(H\)):
\[ D^2 = d^2 + H^2 \]
Дијагонала квадра димензија \(a, b, c\):
\[ D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]
Дијагонала основе: \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Дијагонала коцке ивице \(a\):
\[ D = a\sqrt{3} \]
Дијагонала стране: \(d = a\sqrt{2}\).
Дијагонале правилне шестостране призме:
Правилан шестоугао има две различите дијагонале: већу \(d_1 = 2a\) и мању \(d_2 = a\sqrt{3}\). Према томе: \[ D_1 = \sqrt{d_1^2 + H^2} = \sqrt{(2a)^2 + H^2} \quad \text{(већа просторна дијагонала)} \] \[ D_2 = \sqrt{d_2^2 + H^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + H^2} \quad \text{(мања просторна дијагонала)} \]
Правилан шестоугао има две различите дијагонале: већу \(d_1 = 2a\) и мању \(d_2 = a\sqrt{3}\). Према томе: \[ D_1 = \sqrt{d_1^2 + H^2} = \sqrt{(2a)^2 + H^2} \quad \text{(већа просторна дијагонала)} \] \[ D_2 = \sqrt{d_2^2 + H^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + H^2} \quad \text{(мања просторна дијагонала)} \]
Дијагонални пресек је пресек призме и равни која садржи дијагоналу призме и две паралелне бочне ивице. Његова површина је правоугаоник димензија \(d \times H\):
\[ P_{dp} = d \cdot H \]
Израчунајмо просторну дијагоналу коцке ивице \(a = 4\text{ cm}\).
\[ D = a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm} \approx 4 \cdot 1,73 = 6,92\text{ cm} \]
Мрежа призме настаје када се њена површина расече дуж одређених ивица и развије у раван. Састоји се од две подударне основе и омотача.
Површина призме (\(P\)) једнака је збиру површина обе основе и површине омотача (збир површина свих страна које ограничавају тело).
Општа формула за површину:
\[ P = 2B + M \]
где је површина омотача дата производом обима основе (\(O_B\)) и висине призме (\(H\)):
\[ M = O_B \cdot H \]
Површине карактеристичних призми:
- Квадар: \( P = 2(ab + bc + ca) \)
- Коцка: \( P = 6a^2 \)
- Правилна тространа призма: \[ B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \quad M = 3aH \implies P = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3aH \]
- Правилна четворострана призма: \[ B = a^2, \quad M = 4aH \implies P = 2a^2 + 4aH \]
- Правилна шестострана призма: \[ B = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}, \quad M = 6aH \implies P = 3a^2\sqrt{3} + 6aH \]
Израчунај површину правилне тростране призме ако је основна ивица \(a = 6\text{ cm}\), а висина призме \(H = 10\text{ cm}\).
1. Површина базе:
\[ B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]
2. Површина омотача:
\[ M = 3aH = 3 \cdot 6\text{ cm} \cdot 10\text{ cm} = 180\text{ cm}^2 \]
3. Укупна површина:
\[ P = 2B + M = 2 \cdot 9\sqrt{3} + 180 = (18\sqrt{3} + 180)\text{ cm}^2 = 18(\sqrt{3} + 10)\text{ cm}^2 \]
Запремина призме (\(V\)) представља меру простора коју тело заузима и једнака је производу површине њене основе и висине.
Основна формула за запремину:
\[ V = B \cdot H \]
Запремине карактеристичних призми:
- Квадар: \( V = abc \)
- Коцка: \( V = a^3 \)
- Правилна тространа призма: \( V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H \)
- Правилна четворострана призма: \( V = a^2 H \)
- Правилна шестострана призма: \( V = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot H \)
Маса тела израчунава се коришћењем густине супстанце (\(\rho\)) и запремине тела (\(V\)):
\[ m = \rho \cdot V \]
При израчунавању водити рачуна о усклађености мерних јединица (нпр. \(\text{m}^3\) и \(\text{kg/m}^3\)).
Израчунај запремину правилне четворостране призме основне ивице \(a = 5\text{ cm}\) и висине \(H = 8\text{ cm}\).
\[ B = a^2 = 5^2 = 25\text{ cm}^2 \]
\[ V = B \cdot H = 25 \cdot 8 = 200\text{ cm}^3 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Димензије квадра су \(a = 3\text{ cm}\), \(b = 4\text{ cm}\) и \(c = 12\text{ cm}\).
а) Израчунај запремину и површину квадра.
б) Одреди дужину његове просторне дијагонале \(D\).
а) Израчунај запремину и површину квадра.
б) Одреди дужину његове просторне дијагонале \(D\).
а) Површина и запремина:
Површина: \[ P = 2(ab + bc + ca) = 2(3 \cdot 4 + 4 \cdot 12 + 12 \cdot 3) = 2(12 + 48 + 36) = 2 \cdot 96 = 192\text{ cm}^2 \] Запремина: \[ V = abc = 3 \cdot 4 \cdot 12 = 144\text{ cm}^3 \] б) Дијагонала: \[ D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm} \]
Површина: \[ P = 2(ab + bc + ca) = 2(3 \cdot 4 + 4 \cdot 12 + 12 \cdot 3) = 2(12 + 48 + 36) = 2 \cdot 96 = 192\text{ cm}^2 \] Запремина: \[ V = abc = 3 \cdot 4 \cdot 12 = 144\text{ cm}^3 \] б) Дијагонала: \[ D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm} \]
Задатак 2 (Средњи ниво): Основа праве призме је правоугли троугао са катетама \(a = 6\text{ cm}\) и \(b = 8\text{ cm}\). Ако је висина призме \(H = 10\text{ cm}\), израчунај њену површину и запремину.
1. Хипотенуза основе (\(c\)) добија се применом Питагорине теореме:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \]
2. Површина базе:
\[ B = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\text{ cm}^2 \]
3. Површина омотача:
\[ M = (a + b + c) \cdot H = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240\text{ cm}^2 \]
4. Површина призме:
\[ P = 2B + M = 2 \cdot 24 + 240 = 48 + 240 = 288\text{ cm}^2 \]
5. Запремина призме:
\[ V = B \cdot H = 24 \cdot 10 = 240\text{ cm}^3 \]
Задатак 3 (Средњи/виши ниво): Дијагонала бочне стране правилне четворостране призме износи \(d_b = 13\text{ cm}\), а основна ивица је \(a = 5\text{ cm}\). Израчунај површину дијагоналног пресека и запремину призме.
1. Бочна страна је правоугаоник са страницама \(a\) и \(H\). Висину призме налазимо из правоуглог троугла:
\[ H = \sqrt{d_b^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ cm} \]
2. Дијагонала основе (квадрата):
\[ d = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\text{ cm} \]
3. Површина дијагоналног пресека:
\[ P_{dp} = d \cdot H = 5\sqrt{2} \cdot 12 = 60\sqrt{2}\text{ cm}^2 \]
4. Запремина:
\[ V = B \cdot H = a^2 \cdot H = 5^2 \cdot 12 = 25 \cdot 12 = 300\text{ cm}^3 \]
Задатак 4 (Тежи ниво): Основа праве призме је ромб са дијагоналама \(d_1 = 16\text{ cm}\) и \(d_2 = 12\text{ cm}\). Површина омотача призме једнака је двострукој површини основе (\(M = 2B\)). Одреди висину \(H\), површину \(P\) и запремину \(V\) те призме.
1. Површина ромба (базе):
\[ B = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{16 \cdot 12}{2} = 96\text{ cm}^2 \]
2. Страница основе ромба (\(a\)) из правоуглог троугла полудијагонала:
\[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \]
3. Обим основе:
\[ O_B = 4a = 4 \cdot 10 = 40\text{ cm} \]
4. Из услова \(M = 2B\):
\[ M = 2 \cdot 96 = 192\text{ cm}^2 \]
Како је \(M = O_B \cdot H\):
\[ 40 \cdot H = 192 \implies H = \frac{192}{40} = 4,8\text{ cm} \]
5. Површина призме:
\[ P = 2B + M = 2 \cdot 96 + 192 = 192 + 192 = 384\text{ cm}^2 \]
6. Запремина призме:
\[ V = B \cdot H = 96 \cdot 4,8 = 460,8\text{ cm}^3 \]
