Најважније из лекције
Месна вредност: Сваки троцифрени број се раставља на стотине, десетице и јединице: \(N = 100 \cdot С + 10 \cdot Д + Ј\). Пример: \(723 = 700 + 20 + 3\).
Рачунске операције до 1000: Сабирање и одузимање врше се писмено (потписивањем у колоне) или растављањем на декадне јединице. Множење и дељење једноцифреним бројем врше се растављањем дељеника/чиниоца: \(424 : 2 = (400:2) + (20:2) + (4:2) = 212\).
Редослед операција: 1. Заграде \(\rightarrow\) 2. Множење и дељење \(\rightarrow\) 3. Сабирање и одузимање. Пример: \(820 - 100 \cdot 5 = 820 - 500 = 320\).
Промена разлике: Свака промена на умањенику мења разлику у истом смеру, док промена на умањиоцу мења разлику у супротном смеру: \((a - m) - (b - n) = (a - b) - m + n\).
Рачунске операције до 1000: Сабирање и одузимање врше се писмено (потписивањем у колоне) или растављањем на декадне јединице. Множење и дељење једноцифреним бројем врше се растављањем дељеника/чиниоца: \(424 : 2 = (400:2) + (20:2) + (4:2) = 212\).
Редослед операција: 1. Заграде \(\rightarrow\) 2. Множење и дељење \(\rightarrow\) 3. Сабирање и одузимање. Пример: \(820 - 100 \cdot 5 = 820 - 500 = 320\).
Промена разлике: Свака промена на умањенику мења разлику у истом смеру, док промена на умањиоцу мења разлику у супротном смеру: \((a - m) - (b - n) = (a - b) - m + n\).
Сваки троцифрени број чине цифре стотина (\(С\)), десетица (\(Д\)) и јединица (\(Ј\)). Њихова вредност зависи од позиције (места) на којој се налазе унутар броја.
\[ N = С \cdot 100 + Д \cdot 10 + Ј \]
Развијени облик троцифреног броја преко месних вредности
- Број 246 речима гласи: двеста четрдесет шест. Његове цифре су: \(С = 2\), \(Д = 4\), \(Ј = 6\), а развијени облик: \(200 + 40 + 6\) односно \(2 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 6\).
- Број 609 речима гласи: шест стотина девет (\(С = 6\), \(Д = 0\), \(Ј = 9\)).
Запишите број који садржи 5 стотина, 8 десетица и 4 јединице у развијеном облику и цифрама.
Развијени облик: \(5 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 4 = 500 + 80 + 4\).
Цифрама: 584.
Цифрама: 584.
При писменом (вертикалном) сабирању и одузимању потписују се јединице испод јединица, десетице испод десетица, а стотине испод стотина. Рачуна се здесна налево, од јединица ка стотинама.
Писмено рачунање:
\[
\begin{array}{r@{\qquad}r}
369 & 650 \\
+ 142 & - 249 \\
\hline
511 & 401
\end{array}
\]
Усмено рачунање растављањем бројева:
\[ 274 + 356 = 274 + (300 + 56) = (274 + 300) + 56 = 574 + 56 = 630 \]
\[ 212 - 41 = (100 + 112) - 41 = 100 + (112 - 41) = 100 + 71 = 171 \]
Израчунајте вредност израза \(59 - 7\) растављањем броја 59 на десетице и јединице.
\[ 59 - 7 = (50 + 9) - 7 = 50 + (9 - 7) = 50 + 2 = 52 \]
Множење и дељење се могу вршити растављањем троцифреног броја на стотине, десетице и јединице, при чему се сваки део множи или дели датим једноцифреним бројем.
Множење:
\[ 327 \cdot 3 = (300 + 20 + 7) \cdot 3 = 300 \cdot 3 + 20 \cdot 3 + 7 \cdot 3 = 900 + 60 + 21 = 981 \]
Дељење:
\[ 648 : 6 = (600 + 48) : 6 = 600 : 6 + 48 : 6 = 100 + 8 = 108 \]
Израчунајте количник \(945 : 3\).
\[ 945 : 3 = (900 + 45) : 3 = 900 : 3 + 45 : 3 = 300 + 15 = 315 \]
Прво се извршавају рачунске операције унутар заграда.
Затим се извршавају операције множења и дељења (редоследом којим су записане, слева надесно).
На крају се извршавају операције сабирања и одузимања (слева надесно).
\[ 820 - 109 \cdot 5 = 820 - 545 = 275 \]
\[ (498 + 356) : 7 = 854 : 7 = 122 \]
Израчунајте: \(952 : 8 + 179\).
Прво делимо: \(952 : 8 = 119\).
Затим сабирамо: \(119 + 179 = 298\).
Затим сабирамо: \(119 + 179 = 298\).
Промена вредности умањеника или умањиоца непосредно утиче на резултат разлике:
- Ако се умањеник умањи за \(k\), разлика се умањује за \(k\): \((a - k) - b = (a - b) - k\)
- Ако се умањилац повећа за \(k\), разлика се умањује за \(k\): \(a - (b + k) = (a - b) - k\)
- Ако се умањилац умањи за \(k\), разлика се повећава за \(k\): \(a - (b - k) = (a - b) + k\)
Ако је \(a - b = 240\), вредност израза \((a - 10) - (b - 2)\) израчунава се:
\[ (a - 10) - (b - 2) = a - 10 - b + 2 = (a - b) - 10 + 2 \]
\[ = 240 - 8 = 232 \]
Ако је познато да је \(a - b = 240\), израчунајте вредност израза \(a - (b - 4)\).
Ослобађањем заграде: \(a - (b - 4) = (a - b) + 4\).
Пошто је \(a - b = 240\), следи: \(240 + 4 = 244\).
Пошто је \(a - b = 240\), следи: \(240 + 4 = 244\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Користећи цифре 3, 7 и 1, формирајте све могуће троцифрене бројеве тако да се свака цифра у једном броју појављује тачно једном. Поређајте добијене бројеве од најмањег до највећег.
Сви могући бројеви су: 137, 173, 317, 371, 713, 731.
Поређани од најмањег до највећег:
137, 173, 317, 371, 713, 731.
Поређани од најмањег до највећег:
137, 173, 317, 371, 713, 731.
Задатак 2 (средњи): Израчунајте вредност израза поштујући редослед операција:
\[ 114 \cdot 5 + 505 : 5 - 249 \]
1. Извршавамо множење и дељење:
\(114 \cdot 5 = 570\)
\(505 : 5 = 101\)
2. Уврштавамо у израз и сабирамо/одузимамо слева надесно:
\(570 + 101 - 249 = 671 - 249 = 422\).
Резултат: 422.
\(114 \cdot 5 = 570\)
\(505 : 5 = 101\)
2. Уврштавамо у израз и сабирамо/одузимамо слева надесно:
\(570 + 101 - 249 = 671 - 249 = 422\).
Резултат: 422.
Задатак 3 (средњи): Ако је вредност разлике два броја \(a - b = 240\), одредите вредност израза:
\[ (a - 3) - (b + 7) \]
Ослободимо се заграда и прегрупишимо чланове:
\((a - 3) - (b + 7) = a - 3 - b - 7 = (a - b) - 10\).
Како је \(a - b = 240\):
\(240 - 10 = 230\).
Резултат: 230.
\((a - 3) - (b + 7) = a - 3 - b - 7 = (a - b) - 10\).
Како је \(a - b = 240\):
\(240 - 10 = 230\).
Резултат: 230.
Задатак 4 (тежак): Одредите све троцифрене бројеве који су истовремено већи од 620 и мањи од 820, а збир свих цифара им је једнак 10. Запишите их поређане од највећег до најмањег.
Тражимо бројеве облика \(\overline{abc}\) где је \(620 < \overline{abc} < 820\) и \(a + b + c = 10\):
811, 802, 730, 721, 712, 703, 640, 631, 622.
- За цифру стотина \(a = 8\) (бројеви морају бити мањи од 820):
\(8 + b + c = 10 \implies b + c = 2\). Пошто је број \(< 820\), за \(b\) може бити 0 или 1:
- Ако је \(b = 1\), онда је \(c = 1 \implies \mathbf{811}\).
- Ако је \(b = 0\), онда је \(c = 2 \implies \mathbf{802}\). - За цифру стотина \(a = 7\):
\(7 + b + c = 10 \implies b + c = 3\). Могући парови \((b, c)\):
- \((3, 0) \implies \mathbf{730}\)
- \((2, 1) \implies \mathbf{721}\)
- \((1, 2) \implies \mathbf{712}\)
- \((0, 3) \implies \mathbf{703}\) - За цифру стотина \(a = 6\) (бројеви морају бити већи од 620):
\(6 + b + c = 10 \implies b + c = 4\). Пошто је број \(> 620\), за \(b\) може бити 2, 3 или 4:
- Ако је \(b = 4 \implies c = 0 \implies \mathbf{640}\)
- Ако је \(b = 3 \implies c = 1 \implies \mathbf{631}\)
- Ако је \(b = 2 \implies c = 2 \implies \mathbf{622}\) (веће је од 620)
811, 802, 730, 721, 712, 703, 640, 631, 622.
