Најважније из лекције
Читање и писање: Бројеви се деле на класе (хиљаде и јединице) са размаком (нпр. \( 228\,009 \)). Ако одређена јединица недостаје, пише се \( 0 \).
Месне вредности: СХ (\( 100\,000 \)), ДХ (\( 10\,000 \)), Х (\( 1\,000 \)), С (\( 100 \)), Д (\( 10 \)), Ј (\( 1 \)).
Збир производа: Развијени запис разлаже број преко декадних јединица: \[ 47\,215 = 4 \cdot 10\,000 + 7 \cdot 1\,000 + 2 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 5 \cdot 1 \]
Претходник и следбеник: Претходник се добија одузимањем \( 1 \) (\( n - 1 \)), а следбеник додавањем \( 1 \) (\( n + 1 \)).
Упоређивање: Већи је број са више цифара; ако је број цифара исти, вредности се пореде слева надесно.
Месне вредности: СХ (\( 100\,000 \)), ДХ (\( 10\,000 \)), Х (\( 1\,000 \)), С (\( 100 \)), Д (\( 10 \)), Ј (\( 1 \)).
Збир производа: Развијени запис разлаже број преко декадних јединица: \[ 47\,215 = 4 \cdot 10\,000 + 7 \cdot 1\,000 + 2 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 5 \cdot 1 \]
Претходник и следбеник: Претходник се добија одузимањем \( 1 \) (\( n - 1 \)), а следбеник додавањем \( 1 \) (\( n + 1 \)).
Упоређивање: Већи је број са више цифара; ако је број цифара исти, вредности се пореде слева надесно.
Бројеви се записују цифрама и речима. При читању бројева већих од хиљаду, прво читамо колико хиљада број садржи (класа хиљада), а затим преостали број јединица (класа јединица).
Да би се бројеви већи од хиљаду лакше читали и писали, између класе хиљада и класе јединица прави се мали размак (нпр. \( 4\,724 \), \( 500\,815 \)).
Ако број на одређеној месној позицији нема јединица (нема стотина или десетица), на то место се обавезно пише цифра \( 0 \):
- Ако поред хиљада има мање од десет јединица, на месту стотина и десетица пише се нула (нпр. \( 228\,009 \)).
- Ако поред хиљада има мање од десет десетица, на месту стотина пише се нула (нпр. \( 513\,007 \)).
Број \( 5\,389 \) се састоји од \( 5 \) хиљада и \( 389 \) јединица:
\[ 5\,389 = 5\,000 + 389 \]
Чита се: пет хиљада триста осамдесет девет.
Напишите цифрама број: седамсто тринаест хиљада петсто тридесет један.
Број садржи 713 хиљада и 531 јединицу, па се записује као \( 713\,531 \).
Вредност сваке цифре зависи од њене позиције (места) у броју. Позиције су подељене у класе, при чему свака класа садржи јединице, десетице и стотине.
| Класа хиљада | Класа јединица | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Стотине хиљада (СХ) | Десетице хиљада (ДХ) | Јединице хиљада (Х) | Стотине (С) | Десетице (Д) | Јединице (Ј) |
| \( 100\,000 \) | \( 10\,000 \) | \( 1\,000 \) | \( 100 \) | \( 10 \) | \( 1 \) |
У броју \( 642\,815 \):
- Цифра \( 6 \) је на месту стотина хиљада: вредност је \( 6 \cdot 100\,000 = 600\,000 \)
- Цифра \( 4 \) је на месту десетица хиљада: вредност је \( 4 \cdot 10\,000 = 40\,000 \)
- Цифра \( 2 \) је на месту хиљада: вредност је \( 2 \cdot 1\,000 = 2\,000 \)
- Цифра \( 8 \) је на месту стотина: вредност је \( 8 \cdot 100 = 800 \)
- Цифра \( 1 \) је на месту десетица: вредност је \( 1 \cdot 10 = 10 \)
- Цифра \( 5 \) је на месту јединица: вредност је \( 5 \cdot 1 = 5 \)
Која је месна вредност цифре \( 8 \) у броју \( 80\,412 \)?
Цифра \( 8 \) се налази на позицији десетица хиљада (ДХ), па је њена месна вредност \( 8 \cdot 10\,000 = 80\,000 \).
Сваки вишецифрени број може се написати у развијеном облику као збир производа појединачних цифара и њихових одговарајућих декадних јединица.
\[ n = a \cdot 100\,000 + b \cdot 10\,000 + c \cdot 1\,000 + d \cdot 100 + e \cdot 10 + f \cdot 1 \]
где су \( a, b, c, d, e, f \) цифре броја.
- \( 3\,256 = 3 \cdot 1\,000 + 2 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 1 \)
- \( 95\,167 = 9 \cdot 10\,000 + 5 \cdot 1\,000 + 1 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 7 \cdot 1 \)
- \( 820\,354 = 8 \cdot 100\,000 + 2 \cdot 10\,000 + 0 \cdot 1\,000 + 3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 4 \cdot 1 \)
Запишите број \( 40\,308 \) као збир производа цифара и декадних јединица.
\( 40\,308 = 4 \cdot 10\,000 + 0 \cdot 1\,000 + 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 8 \cdot 1 \)
(или краће, изостављањем сабирака једнаких нули: \( 4 \cdot 10\,000 + 3 \cdot 100 + 8 \cdot 1 \)).
(или краће, изостављањем сабирака једнаких нули: \( 4 \cdot 10\,000 + 3 \cdot 100 + 8 \cdot 1 \)).
Сваки природни број има свог непосредног претходника и непосредног следбеника.
\[ \text{Претходник броја } n = n - 1 \]
\[ \text{Следбеник броја } n = n + 1 \]
За број \( 40\,000 \):
- Претходник је \( 40\,000 - 1 = 39\,999 \)
- Следбеник је \( 40\,000 + 1 = 40\,001 \)
Одредите претходник и следбеник броја \( 600\,000 \).
Претходник: \( 600\,000 - 1 = 599\,999 \)
Следбеник: \( 600\,000 + 1 = 600\,001 \)
Следбеник: \( 600\,000 + 1 = 600\,001 \)
За упоређивање се користе знаци: \( < \) (мање од), \( > \) (веће од) и \( = \) (једнако).
Упоређивање броја цифара: Број који има више цифара је увек већи.
Пример: \( 12\,824 > 9\,876 \) (петоцифрени број је већи од четвороцифреног).
Пример: \( 12\,824 > 9\,876 \) (петоцифрени број је већи од четвороцифреног).
Ако бројеви имају исти број цифара: Упоређују се редом цифре на истим месним вредностима, почевши са леве стране (од највеће месне вредности).
Пример: Када поредимо \( 27\,521 \) и \( 27\,119 \), десетице хиљада и јединице хиљада су исте (\( 27 = 27 \)), али је на месту стотина \( 5 > 1 \), па је \( 27\,521 > 27\,119 \).
Пример: Када поредимо \( 27\,521 \) и \( 27\,119 \), десетице хиљада и јединице хиљада су исте (\( 27 = 27 \)), али је на месту стотина \( 5 > 1 \), па је \( 27\,521 > 27\,119 \).
Поређење више вредности може се визуелно приказати помоћу стубичних графикона, где висина ступца одговара величини броја.
Упоредите бројеве \( 16\,315 \) и \( 16\,824 \).
Бројеви имају исти број хиљада (\( 16 \)). На месту стотина први број има \( 3 \), а други \( 8 \). Пошто је \( 3 < 8 \), важи:
\[ 16\,315 < 16\,824 \]
Задаци за вежбање
Лак: Запишите број \( 89\,014 \) речима и одредите његовог следбеника.
Запис речима: осамдесет девет хиљада четрнаест.
Следбеник: \( 89\,014 + 1 = 89\,015 \).
Следбеник: \( 89\,014 + 1 = 89\,015 \).
Средњи: Одредите који је број записан у облику:
\[ 7 \cdot 100\,000 + 4 \cdot 10\,000 + 0 \cdot 1\,000 + 8 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 5 \cdot 1 \]
Затим одредите његовог непосредног претходника.
Сабирањем месних вредности добијамо:
\[ 700\,000 + 40\,000 + 800 + 30 + 5 = 740\,835 \]
Претходник: \( 740\,835 - 1 = 740\,834 \).
Средњи: Упоредите бројеве и упишите одговарајући знак (\( < \), \( > \) или \( = \)):
а) \( 458\,902 \) и \( 458\,920 \)
б) \( 99\,999 \) и \( 100\,001 \)
а) \( 458\,902 \) и \( 458\,920 \)
б) \( 99\,999 \) и \( 100\,001 \)
а) Имају исти број цифара, а на месту десетица је \( 0 < 2 \), па је:
\[ 458\,902 < 458\,920 \]
б) Број \( 99\,999 \) има 5 цифара, а \( 100\,001 \) има 6 цифара:
\[ 99\,999 < 100\,001 \]
Тежак: Користећи све цифре \( 5, 0, 8, 2, 9, 1 \) тачно једном:
а) Саставите највећи могући шестоцифрени број.
б) Саставите најмањи могући шестоцифрени број.
в) Запишите најмањи број као збир производа цифара и декадних јединица.
а) Саставите највећи могући шестоцифрени број.
б) Саставите најмањи могући шестоцифрени број.
в) Запишите најмањи број као збир производа цифара и декадних јединица.
а) Највећи број: Цифре слажемо од највеће ка најмањој: \( 985\,210 \).
б) Најмањи број: На прво место не сме доћи нула, па бирамо најмању ненулту цифру (\( 1 \)), а остале слажемо од најмање ка највећој: \( 102\,589 \).
в) Збир производа: \[ 102\,589 = 1 \cdot 100\,000 + 0 \cdot 10\,000 + 2 \cdot 1\,000 + 5 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 9 \cdot 1 \]
б) Најмањи број: На прво место не сме доћи нула, па бирамо најмању ненулту цифру (\( 1 \)), а остале слажемо од најмање ка највећој: \( 102\,589 \).
в) Збир производа: \[ 102\,589 = 1 \cdot 100\,000 + 0 \cdot 10\,000 + 2 \cdot 1\,000 + 5 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 9 \cdot 1 \]
