Најважније из лекције
Множење декадним јединицама: Дописују се нуле (\(45 \cdot 100 = 4\,500\)).
Дељење декадним јединицама: Бришу се нуле (\(4\,500 : 100 = 45\)).
Сталност количника: Скраћивање једнаког броја нула са дељеника и делиоца олакшава рачунање (\(6\,400 : 200 = 64 : 2 = 32\)).
Својства операција: Комутативност (\(a \cdot b = b \cdot a\)), асоцијативност (\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)) и дистрибутивност (\(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\)) омогућавају брзо ментално и писмено рачунање.
Дељење са остатком: \(\text{дељеник} = \text{делилац} \cdot \text{количник} + \text{остатак}\), при чему остатак мора бити мањи од делиоца (\(r < d\)).
Дељење декадним јединицама: Бришу се нуле (\(4\,500 : 100 = 45\)).
Сталност количника: Скраћивање једнаког броја нула са дељеника и делиоца олакшава рачунање (\(6\,400 : 200 = 64 : 2 = 32\)).
Својства операција: Комутативност (\(a \cdot b = b \cdot a\)), асоцијативност (\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)) и дистрибутивност (\(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\)) омогућавају брзо ментално и писмено рачунање.
Дељење са остатком: \(\text{дељеник} = \text{делилац} \cdot \text{количник} + \text{остатак}\), при чему остатак мора бити мањи од делиоца (\(r < d\)).
Множење декадном јединицом (\(10, 100, 1\,000, 10\,000 \dots\)): Број се множи декадном јединицом тако што му се са десне стране допише онолико нула колико их та декадна јединица садржи.
Дељење декадном јединицом: Број који се завршава нулама дели се декадном јединицом тако што му се са десне стране изостави (уклони) онолико нула колико их та декадна јединица садржи.
- \( 34 \cdot 100 = 3\,400 \)
- \( 12 \cdot 1\,000 = 12\,000 \)
- \( 607\,000 : 1\,000 = 607 \)
- \( 120\,000 : 10\,000 = 12 \)
Претварање јединица мере:
Приликом претварања већих јединица мере у мање користи се множење декадним јединицама, а приликом претварања мањих у веће користи се дељење.
- Веће у мање (\(\cdot\)): \( 14\text{ m} = 14 \cdot 1\,000\text{ mm} = 14\,000\text{ mm} \)
- Веће у мање (\(\cdot\)): \( 95\text{ t} = 95 \cdot 1\,000\text{ kg} = 95\,000\text{ kg} \)
- Мање у веће (\(:\)): \( 45\,000\text{ g} = 45\,000 : 1\,000\text{ kg} = 45\text{ kg} \)
- Мање у веће (\(:\)): \( 908\,000\,000\text{ ml} = 908\,000\,000 : 1\,000\text{ l} = 908\,000\text{ l} \)
Претвори \( 105\text{ km} \) у метре и \( 141\,000\text{ m} \) у километре.
\( 105\text{ km} = 105 \cdot 1\,000\text{ m} = 105\,000\text{ m} \)
\( 141\,000\text{ m} = 141\,000 : 1\,000\text{ km} = 141\text{ km} \)
\( 141\,000\text{ m} = 141\,000 : 1\,000\text{ km} = 141\text{ km} \)
Замена места чинилаца (комутативност): Производ се не мења ако чиниоци замене места.
\[ a \cdot b = b \cdot a \]
Здруживање чинилаца (асоцијативност): Производ се не мења ако се чиниоци другачије здруже (групишу).
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
Дистрибутивност према сабирању и одузимању:
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \]
Ово својство важи и у супротном смеру (извлачење заједничког чиниоца):
\[ a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c \]
Коришћењем комутативности и асоцијативности чиниоци се могу здружити тако да њихов производ даје декадну јединицу (\(10, 100, 1\,000 \dots\)), што знатно олакшава рачунање.
\[ 7 \cdot 100 \cdot 5 = (7 \cdot 5) \cdot 100 = 35 \cdot 100 = 3\,500 \]
\[ 326 \cdot 6 + 326 \cdot 4 = 326 \cdot (6 + 4) = 326 \cdot 10 = 3\,260 \]
Израчунај на најлакши начин: \( 4 \cdot 79 \cdot 25 \).
Здруживањем бројева 4 и 25 добијамо декадну јединицу 100:
\[ (4 \cdot 25) \cdot 79 = 100 \cdot 79 = 7\,900 \]
Вишеструка декадна јединица раставља се на производ једноцифреног броја и декадне јединице:
\[ 37 \cdot 20 = (37 \cdot 2) \cdot 10 = 74 \cdot 10 = 740 \]
\[ 137 \cdot 200 = (137 \cdot 2) \cdot 100 = 274 \cdot 100 = 27\,400 \]
Вишецифрени број множи се редом цифрама другог чиниоца (почевши од јединица, затим десетицама, стотинама...), па се делимични производи саберу:
\[ 256 \cdot 167 = 256 \cdot (100 + 60 + 7) = 256 \cdot 100 + 256 \cdot 60 + 256 \cdot 7 \]
Писмени поступак множења бројева \( 94 \cdot 25 \):
\[
\begin{array}{r}
\underline{94 \cdot 25} \\
470 \phantom{0} \quad (94 \cdot 5) \\
+ 188\phantom{00} \quad (94 \cdot 20) \\
\hline
2\,350 \phantom{0}
\end{array}
\]
Једна књига кошта 1 450 динара. Колико кошта 12 таквих књига?
\[ 1\,450 \cdot 12 = 1\,450 \cdot (10 + 2) = 14\,500 + 2\,900 = 17\,400\text{ динара} \]
Сталност количника и скраћивање нула:
Ако дељеник и делилац завршавају нулама, могу се поделити истом декадном јединицом (скрати се исти број крајњих нула), при чему се вредност количника не мења:
\[ a : (b \cdot 10^n) = (a : 10^n) : b \]
- \( 15\,00\cancel{0} : 3\cancel{0} = 1\,500 : 3 = 500 \)
- \( 2\,55\cancel{0} : 15\cancel{0} = 255 : 15 = 17 \)
- \( 9\,00\cancel{0} : 25\cancel{0} = 900 : 25 = 36 \)
Веза множења и дељења (провера):
Свакој операцији множења одговарају две операције дељења:
\[ a \cdot b = c \iff c : a = b \quad \text{и} \quad c : b = a \]
Зато се дељење увек проверава множењем:
\[ 66\,185 : 305 = 217 \implies 217 \cdot 305 = 66\,185 \]
Израчунај вредност израза: \( 240\,800 : 40 \).
Скраћивањем једне нуле код дељеника и делиоца:
\[ 240\,800 : 40 = 24\,080 : 4 = 6\,020 \]
Провера: \( 6\,020 \cdot 40 = 240\,800 \).
Када природни број није дељив другим природним бројем без остатка, количник има цео део и остатак.
Остатак је увек строго мањи од делиоца:
\[ \text{остатак} < \text{делилац} \]
При дељењу бројем \( d \), могући остаци су бројеви из скупа \( \{0, 1, 2, \dots, d - 1\} \).
Пример: При дељењу бројем 4, могући остаци су само \( 0, 1, 2, 3 \); при дељењу бројем 6, остаци су \( 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).
Пример: При дељењу бројем 4, могући остаци су само \( 0, 1, 2, 3 \); при дељењу бројем 6, остаци су \( 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).
\[ \text{дељеник} = \text{делилац} \cdot \text{количник} + \text{остатак} \]
Ако је при дељењу неког броја са 4 количник био 6 574, а остатак 2, који је то број?
\[ \text{дељеник} = 4 \cdot 6\,574 + 2 = 26\,296 + 2 = 26\,298 \]
Тражени број је 26 298.
Типичне ситуације у којима се примењују множење и дељење:
- Умањивање/увећавање за одређени број пута: Број \( n \) пута мањи од \( A \) рачуна се као \( A : n \), а \( n \) пута већи као \( A \cdot n \).
- Израчунавање времена (\(t\)): Када су познати пут (\(s\)) и брзина кретања (\(v\)): \[ t = s : v \]
- Куповина на рате: Месечна рата добија се дељењем укупне цене бројем једнаких рата.
- Периодични трошкови: Годишњи трошак израчунава се множењем месечног трошка са 12 (јер година има 12 месеци).
- Укупан приход: Рачуна се као збир производа појединачних цена и продатих количина: \( \sum (\text{цена} \cdot \text{количина}) \).
Бројевно стабло: Графички приказ који се користи за одређивање и праћење редоследа рачунских операција у сложеним изразима.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност израза користећи здруживање чинилаца на најлакши начин:
а) \( 50 \cdot 836 \cdot 2 \)
б) \( 34\,000 : 100 \)
а) \( 50 \cdot 836 \cdot 2 \)
б) \( 34\,000 : 100 \)
а) Здруживањем \( 50 \) и \( 2 \) добија се \( 100 \):
\[ (50 \cdot 2) \cdot 836 = 100 \cdot 836 = 83\,600 \]
б) Дељењем са 100 уклањају се две крајње нуле:
\[ 34\,000 : 100 = 340 \]
Задатак 2 (средњи): Један рачунар кошта 58 800 динара. Купац је платио рачунар у 12 једнаких месечних рата. Колико износи једна месечна рата?
Износ месечне рате добијамо дељењем укупне цене бројем рата:
\[ 58\,800 : 12 \]
Поступак дељења:
\[ 58 : 12 = 4 \quad (\text{остатак } 10) \]
\[ 108 : 12 = 9 \quad (\text{остатак } 0) \]
Дописујемо преостале две нуле:
\[ 58\,800 : 12 = 4\,900\text{ динара} \]
Провера: \( 4\,900 \cdot 12 = 58\,800 \).
Задатак 3 (средњи): Одреди непознати дељеник ако је делилац 8, количник 1 425, а остатак је највећи могући број при дељењу са 8.
Највећи могући остатак при дељењу са 8 је за 1 мањи од делиоца, односно:
\[ \text{остатак} = 8 - 1 = 7 \]
Сада користимо формулу за проверу дељења:
\[ \text{дељеник} = \text{делилац} \cdot \text{количник} + \text{остатак} \]
\[ \text{дељеник} = 8 \cdot 1\,425 + 7 \]
\[ 8 \cdot 1\,425 = 11\,400 \]
\[ \text{дељеник} = 11\,400 + 7 = 11\,407 \]
Задатак 4 (тежак): Израчунај вредност израза коришћењем дистрибутивности и скраћивања нула:
\[ 475 \cdot 38 + 475 \cdot 62 - 75\,000 : 250 \]
1. За прва два сабирка извлачимо заједнички чинилац 475:
\[ 475 \cdot (38 + 62) = 475 \cdot 100 = 47\,500 \]
2. Код дељења скраћујемо по једну нулу са оба броја:
\[ 75\,000 : 250 = 7\,500 : 25 = 300 \]
3. Одузимамо добијене вредности:
\[ 47\,500 - 300 = 47\,200 \]
