Најважније из лекције
Множење вишеструким декадним јединицама:
- Број се помножи цифром вишеструке декадне јединице, а затим се производу са десне стране допише одговарајући број нула.
- Множење са \(20, 30, \dots, 90\): множи се бројем десетица и дописује се једна нула. (Пример: \(37 \cdot 20 = 74 \cdot 10 = 740\))
- Множење са \(200, 300, \dots, 900\): множи се бројем стотина и дописују се две нуле. (Пример: \(137 \cdot 200 = 274 \cdot 100 = 27\ 400\))
- Множење са \(2\ 000, 3\ 000, \dots\): множи се бројем хиљада и дописују се три нуле. (Пример: \(24 \cdot 5\ 000 = 120 \cdot 1\ 000 = 120\ 000\))
Декадне јединице су бројеви \(10, 100, 1\ 000, 10\ 000, 100\ 000, \dots\)
Вишеструке декадне јединице су бројеви који се добијају множењем једноцифреног броја (\(2, 3, 4, \dots, 9\)) декадном јединицом:
- Вишеструке десетице: \(20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\)
- Вишеструке стотине: \(200, 300, 400, \dots, 900\)
- Вишеструке хиљаде: \(2\ 000, 3\ 000, 4\ 000, \dots, 9\ 000\)
Број \(500\) представља петоструку декадну јединицу \(100\), јер је \(500 = 5 \cdot 100\).
Број \(4\ 000\) је четворострука декадна јединица \(1\ 000\), јер је \(4\ 000 = 4 \cdot 1\ 000\).
Број \(4\ 000\) је четворострука декадна јединица \(1\ 000\), јер је \(4\ 000 = 4 \cdot 1\ 000\).
Растави број \(70\ 000\) на производ једноцифреног броја и одговарајуће декадне јединице.
\(70\ 000 = 7 \cdot 10\ 000\).
При множењу вишеструком декадном јединицом користимо својство асоцијативности (здруживања) множења. Вишеструку декадну јединицу растављамо на једноцифрени број и декадну јединицу.
\[ a \cdot (b \cdot 10) = (a \cdot b) \cdot 10 \]
\[ a \cdot (b \cdot 100) = (a \cdot b) \cdot 100 \]
\[ a \cdot (b \cdot 1\ 000) = (a \cdot b) \cdot 1\ 000 \]
Растави вишеструку декадну јединицу на производ једноцифреног броја и декадне јединице (\(10, 100, 1\ 000 \dots\)).
Помножи први чинилац тим једноцифреним бројем.
Добијени производ помножи декадном јединицом (допиши онолико нула колико има декадна јединица: за \(10\) једну нулу, за \(100\) две нуле, за \(1\ 000\) три нуле...).
\[ 37 \cdot 20 = (37 \cdot 2) \cdot 10 = 74 \cdot 10 = 740 \]
\[ 137 \cdot 200 = (137 \cdot 2) \cdot 100 = 274 \cdot 100 = 27\ 400 \]
\[ 2\ 554 \cdot 5\ 000 = (2\ 554 \cdot 5) \cdot 1\ 000 = 12\ 770 \cdot 1\ 000 = 12\ 770\ 000 \]
Израчунај користећи растављање: \(64 \cdot 300\).
\(64 \cdot 300 = (64 \cdot 3) \cdot 100 = 192 \cdot 100 = 19\ 200\).
Када писмено множимо број вишеструком декадном јединицом:
- Први чинилац множимо цифром која није нула.
- Све крајње нуле другог чиниоца само преписујемо са десне стране добијеног производа.
При потписивању, други чинилац се може потписати тако да његове крајње нуле стоје десно од последње цифре првог чиниоца, чиме се олакшава њихово преписивање на крају.
\[
\begin{array}{r@{\ }l}
309 \cdot 200 & \\
\hline
61\ 800 & \quad (\text{јер је } 309 \cdot 2 = 618 \text{ и дописујемо } 00)
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{r@{\ }l}
46\ 624 \cdot 5\ 000 & \\
\hline
233\ 120\ 000 & \quad (\text{јер је } 46\ 624 \cdot 5 = 233\ 120 \text{ и дописујемо } 000)
\end{array}
\]
Израчунај писмено производ: \(1\ 309 \cdot 200\).
Множимо најпре \(1\ 309 \cdot 2 = 2\ 618\), а затим дописујемо две нуле:
\[ 1\ 309 \cdot 200 = 261\ 800 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај производе:
а) \(42 \cdot 20\)
б) \(312 \cdot 300\)
а) \(42 \cdot 20\)
б) \(312 \cdot 300\)
а) \(42 \cdot 20 = (42 \cdot 2) \cdot 10 = 84 \cdot 10 = 840\)
б) \(312 \cdot 300 = (312 \cdot 3) \cdot 100 = 936 \cdot 100 = 93\ 600\)
б) \(312 \cdot 300 = (312 \cdot 3) \cdot 100 = 936 \cdot 100 = 93\ 600\)
Задатак 2 (средњи): Без израчунавања целе вредности, упиши одговарајући знак (\(<\), \(>\) или \(=\)):
а) \(214 \cdot 200 \;\square\; 214 \cdot 2\ 000\)
б) \(300 \cdot 17\ 000 \;\square\; 30 \cdot 170\ 000\)
в) \(500 \cdot 2\ 450 \;\square\; 245 \cdot 500\)
а) \(214 \cdot 200 \;\square\; 214 \cdot 2\ 000\)
б) \(300 \cdot 17\ 000 \;\square\; 30 \cdot 170\ 000\)
в) \(500 \cdot 2\ 450 \;\square\; 245 \cdot 500\)
а) \(214 \cdot 200 < 214 \cdot 2\ 000\) (први чиниоци су једнаки, а \(200 < 2\ 000\))
б) \(300 \cdot 17\ 000 = 30 \cdot 170\ 000\) (оба производа су једнака \(3 \cdot 17 \cdot 100\ 000 = 5\ 100\ 000\), односно имају укупно 5 нула)
в) \(500 \cdot 2\ 450 > 245 \cdot 500\) (други чиниоци се разликују десетоструко: \(2\ 450 > 245\))
б) \(300 \cdot 17\ 000 = 30 \cdot 170\ 000\) (оба производа су једнака \(3 \cdot 17 \cdot 100\ 000 = 5\ 100\ 000\), односно имају укупно 5 нула)
в) \(500 \cdot 2\ 450 > 245 \cdot 500\) (други чиниоци се разликују десетоструко: \(2\ 450 > 245\))
Задатак 3 (средњи): Напиши бројевни израз и израчунај његову вредност:
Производ бројева \(8\ 237\) и \(400\) умањи за \(12\ 365\).
Производ бројева \(8\ 237\) и \(400\) умањи за \(12\ 365\).
Израз: \(8\ 237 \cdot 400 - 12\ 365\)
1. Прво множимо: \[ 8\ 237 \cdot 4 = 32\ 948 \implies 8\ 237 \cdot 400 = 3\ 294\ 800 \] 2. Затим одузимамо: \[ 3\ 294\ 800 - 12\ 365 = 3\ 282\ 435 \] Вредност израза је: \(3\ 282\ 435\).
1. Прво множимо: \[ 8\ 237 \cdot 4 = 32\ 948 \implies 8\ 237 \cdot 400 = 3\ 294\ 800 \] 2. Затим одузимамо: \[ 3\ 294\ 800 - 12\ 365 = 3\ 282\ 435 \] Вредност израза је: \(3\ 282\ 435\).
Задатак 4 (тежи): Маса једног џака брашна износи \(70\text{ kg}\). На стоваришту се налази \(500\) таквих џакова. Колико се тона брашна налази на том стоваришту? (\(1\text{ t} = 1\ 000\text{ kg}\))
Рачун:
\[ 70 \cdot 500 = (7 \cdot 5) \cdot (10 \cdot 100) = 35 \cdot 1\ 000 = 35\ 000\text{ kg} \]
Претварамо килограме у тоне:
\[ 35\ 000\text{ kg} = 35\text{ t} \]
Одговор: На стоваришту се налази \(35\) тона брашна.
