Најважније из лекције
Дељење вишеструком декадном јединицом: Изводи се тако што се дељеник прво подели декадном јединицом (\(10, 100, 1\,000\)), а затим једноцифреним бројем: \( a : (b \cdot 10^n) = (a : 10^n) : b \).
Скраћивање нула: На основу сталности количника, са краја дељеника и делиоца прецртава се исти број нула (оналико колико их има делилац). На пример: \( 72\,000 : 800 = 720 : 8 = 90 \).
Сложенији изрази: Поштује се првенство операција у заградама или се примењује дељење збира и разлике: \( (a \pm b) : c = a : c \pm b : c \).
Скраћивање нула: На основу сталности количника, са краја дељеника и делиоца прецртава се исти број нула (оналико колико их има делилац). На пример: \( 72\,000 : 800 = 720 : 8 = 90 \).
Сложенији изрази: Поштује се првенство операција у заградама или се примењује дељење збира и разлике: \( (a \pm b) : c = a : c \pm b : c \).
Дељење је операција супротна множењу. Ако је познат производ два броја од којих је један вишеструка декадна јединица, дељењем производа једним чиниоцем добија се други чинилац.
Ако је \( a \cdot b = c \), онда је:
\[ c : b = a \quad \text{и} \quad c : a = b \]
Ако знамо да је \( 269 \cdot 400 = 107\,600 \), тада непосредно следи:
\[ 107\,600 : 400 = 269 \]
\[ 107\,600 : 269 = 400 \]
Ако је \( 1\,269 \cdot 400 = 507\,600 \), одреди вредност израза \( 507\,600 : 400 \).
Користећи везу множења и дељења:
\[ 507\,600 : 400 = 1\,269 \]
Вишеструка декадна јединица је производ неког једноцифреног броја и декадне јединице (\(10, 100, 1\,000, \dots\)), на пример: \(30 = 3 \cdot 10\), \(400 = 4 \cdot 100\), \(5\,000 = 5 \cdot 1\,000\).
\[ a : (b \cdot 10^n) = (a : 10^n) : b \]
Број делимо вишеструком декадном јединицом тако што га најпре поделимо декадном јединицом, а затим добијени количник поделимо преосталим једноцифреним бројем.
Поделити дељеник одговарајућом декадном јединицом (уклањањем онолико нула колико их има декадна јединица).
Добијени количник поделити једноцифреним бројем.
Израчунајмо \( 240\,800 : 40 \):
\[ 240\,800 : 40 = (240\,800 : 10) : 4 = 24\,080 : 4 = 6\,020 \]
Израчунај вредност израза \( 965\,000 : 5\,000 \) поступним дељењем.
Број \( 5\,000 \) записујемо као \( 1\,000 \cdot 5 \):
\[ 965\,000 : 5\,000 = (965\,000 : 1\,000) : 5 = 965 : 5 = 193 \]
Сталност количника: Количник два броја остаје непромењен ако се и дељеник и делилац поделе истим бројем различитим од нуле.
\[ a : b = (a : c) : (b : c), \quad c \neq 0 \]
У пракси, када делимо бројеве који се завршавају нулама, са краја дељеника и са краја делиоца изоставимо (прецртамо) једнак број нула - тачно оналико нула колико их има делилац.
Ако знамо да је \( 336 : 6 = 56 \), лако одређујемо вредности сличних количника:
- \( 3\,36\mathbf{0} : 6\mathbf{0} = 336 : 6 = 56 \)
- \( 33\,6\mathbf{00} : 6\mathbf{00} = 336 : 6 = 56 \)
- \( 33\,60\mathbf{0} : 6\mathbf{0} = 3\,360 : 6 = 560 \)
- \( 33\,600\,\mathbf{000} : 6\,\mathbf{000} = 33\,600 : 6 = 5\,600 \)
Користећи скраћивање нула, израчунај \( 58\,900 : 100 \).
И дељеник и делилац делимо са \( 100 \) (изостављамо две нуле):
\[ 58\,900 : 100 = 589 : 1 = 589 \]
Када је дељеник дат у облику збира или разлике у загради, израз можемо израчунати на два начина: израчунавањем вредности у загради, или применом дељења сваког члана посебно (дистрибутивност).
\[ (a + b) : c = a : c + b : c \]
\[ (a - b) : c = a : c - b : c \]
(под условом да су оба броја \(a\) и \(b\) дељива бројем \(c\))
Израчунајмо вредност израза \( (900\,000 - 465\,000) : 500 \):
I начин (прво заграда): \[ 435\,000 : 500 = 4\,350 : 5 = 870 \] II начин (члан по члан): \[ 900\,000 : 500 - 465\,000 : 500 = 1\,800 - 930 = 870 \]
I начин (прво заграда): \[ 435\,000 : 500 = 4\,350 : 5 = 870 \] II начин (члан по члан): \[ 900\,000 : 500 - 465\,000 : 500 = 1\,800 - 930 = 870 \]
Израчунај вредност израза \( (3\,600 + 4\,400) : 200 \).
Саберемо бројеве у загради:
\[ 3\,600 + 4\,400 = 8\,000 \]
Затим поделимо са \( 200 \) (прецртамо по две нуле):
\[ 8\,000 : 200 = 80 : 2 = 40 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај количник бројева применом скраћивања нула:
\[ 480\,000 : 600 \]
Делилац \( 600 \) има две нуле, па изостављамо по две нуле и код дељеника и код делиоца:
\[ 480\,000 : 600 = 4\,800 : 6 = 800 \]
Задатак 2 (средњи): Одреди вредност израза:
Количник бројева \( 840\,000 \) и \( 700 \) увећај \( 300 \) пута.
Количник бројева \( 840\,000 \) и \( 700 \) увећај \( 300 \) пута.
Постављамо израз:
\[ (840\,000 : 700) \cdot 300 \]
Прво делимо са \( 700 \) (скраћујемо по две нуле):
\[ 840\,000 : 700 = 8\,400 : 7 = 1\,200 \]
Затим множимо добијени количник са \( 300 \):
\[ 1\,200 \cdot 300 = 360\,000 \]
Одговор: Вредност израза је \( 360\,000 \).
Задатак 3 (средњи): За школску библиотеку набављено је \( 300 \) књига лектире по истој цени. Ако је укупан рачун износио \( 103\,500 \) динара, колико је плаћена једна књига?
Цену једне књиге добијамо дељењем укупног износа бројем књига:
\[ 103\,500 : 300 \]
Скраћујемо по две нуле код дељеника и делиоца:
\[ 103\,500 : 300 = 1\,035 : 3 \]
Делимо са \( 3 \):
\[ 1\,035 : 3 = 345 \]
Одговор: Једна књига је плаћена \( 345 \) динара.
Задатак 4 (тежак): За колико је количник бројева \( 18\,600 \) и \( 30 \) мањи од њиховог производа?
1. Израчунавамо количник:
\[ 18\,600 : 30 = 1\,860 : 3 = 620 \]
2. Израчунавамо производ:
\[ 18\,600 \cdot 30 = 558\,000 \]
3. Одређујемо за колико је количник мањи од производа:
\[ 558\,000 - 620 = 557\,380 \]
Одговор: Количник је мањи од производа за \( 557\,380 \).
