Најважније из лекције
Разлагање (сабирање): Сложену фигуру делимо на познате правоугаонике и сабирамо њихове површине: \(P = P_1 + P_2\). Пример: Фигура од квадрата (\(5 \cdot 5 = 25\)) и крака (\(6 \cdot 2 = 12\)) има површину \(25 + 12 = 37\).
Допуњавање (одузимање): Од површине веће обухватне фигуре одузимамо отвор или удубљење: \(P = P_{\text{велика}} - P_{\text{мања}}\). Пример: Квадрат са рупом \(81 - 9 = 72\).
Непознате странице: Израчунавају се упоређивањем паралелних страница (нпр. \(30 - 20 = 10\)).
Јединице за земљиште: \(1\text{ a} = 100\text{ m}^2\).
Допуњавање (одузимање): Од површине веће обухватне фигуре одузимамо отвор или удубљење: \(P = P_{\text{велика}} - P_{\text{мања}}\). Пример: Квадрат са рупом \(81 - 9 = 72\).
Непознате странице: Израчунавају се упоређивањем паралелних страница (нпр. \(30 - 20 = 10\)).
Јединице за земљиште: \(1\text{ a} = 100\text{ m}^2\).
Сложена фигура се може помоћним дужима поделити (разложити) на два или више мањих правоугаоника или квадрата. Укупна површина је једнака збиру површина свих њених делова.
\[ P = P_1 + P_2 + \dots + P_n \]
Израчунајмо површину фигуре у облику слова „L” чије су хоризонталне димензије \(5\text{ dm}\) и \(6\text{ dm}\) (укупно \(11\text{ dm}\)), а вертикалне \(5\text{ dm}\) и \(2\text{ dm}\):
- Први правоугаоник (вертикални део): \(P_1 = 5\text{ dm} \cdot 5\text{ dm} = 25\text{ dm}^2\)
- Други правоугаоник (хоризонтални крак): \(P_2 = 6\text{ dm} \cdot 2\text{ dm} = 12\text{ dm}^2\)
- Укупна површина: \(P = P_1 + P_2 = 25\text{ dm}^2 + 12\text{ dm}^2 = 37\text{ dm}^2\)
Фигура у облику слова „L” састављена је од усправног правоугаоника димензија \(3\text{ m} \times 7\text{ m}\) и надовезаног водоравног правоугаоника димензија \(11\text{ m} \times 3\text{ m}\). Израчунај њену укупну површину.
\(P_1 = 3\text{ m} \cdot 7\text{ m} = 21\text{ m}^2\)
\(P_2 = 11\text{ m} \cdot 3\text{ m} = 33\text{ m}^2\)
\(P = P_1 + P_2 = 21\text{ m}^2 + 33\text{ m}^2 = 54\text{ m}^2\)
\(P_2 = 11\text{ m} \cdot 3\text{ m} = 33\text{ m}^2\)
\(P = P_1 + P_2 = 21\text{ m}^2 + 33\text{ m}^2 = 54\text{ m}^2\)
Када фигура садржи отвор, унутрашњи исечени део („рупу”) или удубљење, њена површина се одређује тако што се израчуна површина целе (допуњене) фигуре, па се од ње одузме површина изрезаног дела.
\[ P = P_{\text{велика}} - P_{\text{мања}} \]
Обојени део чини правоугаоник димензија \(12\text{ cm} \times 4\text{ cm}\) у коме се налази бели правоугаони отвор димензија \(5\text{ cm} \times 2\text{ cm}\):
- Површина целог правоугаоника: \(P_{\text{велика}} = 12\text{ cm} \cdot 4\text{ cm} = 48\text{ cm}^2\)
- Површина отвора: \(P_{\text{мања}} = 5\text{ cm} \cdot 2\text{ cm} = 10\text{ cm}^2\)
- Површина обојеног дела: \(P = 48\text{ cm}^2 - 10\text{ cm}^2 = 38\text{ cm}^2\)
Око квадратног цветњака странице \(9\text{ m}\) налази се бетонска стаза. Спољашње ивице целе површине чине квадрат странице \(11\text{ m}\). Колика је површина стазе?
\(P_{\text{велика}} = 11\text{ m} \cdot 11\text{ m} = 121\text{ m}^2\)
\(P_{\text{мања}} = 9\text{ m} \cdot 9\text{ m} = 81\text{ m}^2\)
\(P_{\text{стазе}} = 121\text{ m}^2 - 81\text{ m}^2 = 40\text{ m}^2\)
\(P_{\text{мања}} = 9\text{ m} \cdot 9\text{ m} = 81\text{ m}^2\)
\(P_{\text{стазе}} = 121\text{ m}^2 - 81\text{ m}^2 = 40\text{ m}^2\)
Наспрамне странице правоугаоника су једнаке. Ако нека страница на сложеној фигури није дата, њена дужина се израчунава сабирањем или одузимањем дужина паралелних дужи.
Уочити да ли је непозната страница водоравна или усправна.
Пронаћи познате паралелне странице које се налазе наспрам ње.
Ако је непозната страница део веће странице, њена дужина је разлика укупне дужине и познатог дела. Ако је непозната најдужа страница, она је збир мањих делова.
Ако фигура на дну има укупну ширину \(30\text{ m}\), а њен сужени део има дужину \(20\text{ m}\), ширина ширег дела се рачуна као:
\[ 30\text{ m} - 20\text{ m} = 10\text{ m} \]
План стана се састоји од више правоугаоних просторија. Укупна површина стана једнака је збиру површина свих просторија.
За мерење површине земљишта (њива, башти) користи се ар:
\[ 1\text{ a} = 100\text{ m}^2 \]
| Просторија | Димензије | Површина |
|---|---|---|
| Дневна соба | \(7\text{ m} \times 4\text{ m}\) | \(28\text{ m}^2\) |
| Кухиња | \(4\text{ m} \times 2\text{ m}\) | \(8\text{ m}^2\) |
| Купатило | \(3\text{ m} \times 2\text{ m}\) | \(6\text{ m}^2\) |
Укупна површина дела стана са ове три просторије је \(28\text{ m}^2 + 8\text{ m}^2 + 6\text{ m}^2 = 42\text{ m}^2\).
Задаци за вежбање
Лак: Под собе правоугаоног облика има дужину \(5\text{ m}\) и ширину \(4\text{ m}\). На поду се налази тепих дужине \(4\text{ m}\) и ширине \(2\text{ m}\). Израчунај површину пода која није покривена тепихом.
\(P_{\text{собе}} = 5\text{ m} \cdot 4\text{ m} = 20\text{ m}^2\)
\(P_{\text{тепиха}} = 4\text{ m} \cdot 2\text{ m} = 8\text{ m}^2\)
\(P_{\text{непокривено}} = 20\text{ m}^2 - 8\text{ m}^2 = 12\text{ m}^2\)
Одговор: Површина пода која није покривена износи \(12\text{ m}^2\).
\(P_{\text{тепиха}} = 4\text{ m} \cdot 2\text{ m} = 8\text{ m}^2\)
\(P_{\text{непокривено}} = 20\text{ m}^2 - 8\text{ m}^2 = 12\text{ m}^2\)
Одговор: Површина пода која није покривена износи \(12\text{ m}^2\).
Средњи: Правоугаона башта има димензије \(24\text{ m}\) и \(12\text{ m}\). У средини баште направљено је украсно језеро облика квадрата странице \(4\text{ m}\). Колика је површина слободног дела баште (без језера)?
1. Површина целе баште:
\[ P_1 = 24\text{ m} \cdot 12\text{ m} = 288\text{ m}^2 \]
2. Површина језера:
\[ P_2 = 4\text{ m} \cdot 4\text{ m} = 16\text{ m}^2 \]
3. Површина слободног дела:
\[ P = P_1 - P_2 = 288\text{ m}^2 - 16\text{ m}^2 = 272\text{ m}^2 \]
Одговор: Површина слободног дела баште износи \(272\text{ m}^2\).
Тежак: Њива има облик сложене фигуре: доња хоризонтална страница је \(30\text{ m}\), лева вертикална је \(10\text{ m}\), десна вертикална је \(5\text{ m}\), а горњи водоравни усек износи \(20\text{ m}\).
а) Израчунај површину ове њиве у арима.
б) Колики је очекивани принос ако се са једног ара добија \(400\text{ kg}\) кукуруза?
а) Израчунај површину ове њиве у арима.
б) Колики је очекивани принос ако се са једног ара добија \(400\text{ kg}\) кукуруза?
а) Израчунавање површине:
Разлажемо њиву на два правоугаоника:
Пошто је \(1\text{ a} = 100\text{ m}^2\): \[ 200\text{ m}^2 : 100 = 2\text{ a} \]
б) Принос кукуруза: \[ 2 \cdot 400\text{ kg} = 800\text{ kg} \] Одговор: Површина њиве је \(2\text{ a}\), а очекивани принос износи \(800\text{ kg}\).
Разлажемо њиву на два правоугаоника:
- Први (леви) правоугаоник: ширина је \(30\text{ m} - 20\text{ m} = 10\text{ m}\), а висина је \(10\text{ m}\): \[ P_1 = 10\text{ m} \cdot 10\text{ m} = 100\text{ m}^2 \]
- Други (десни) правоугаоник: дужина је \(20\text{ m}\), а висина је \(5\text{ m}\): \[ P_2 = 20\text{ m} \cdot 5\text{ m} = 100\text{ m}^2 \]
Пошто је \(1\text{ a} = 100\text{ m}^2\): \[ 200\text{ m}^2 : 100 = 2\text{ a} \]
б) Принос кукуруза: \[ 2 \cdot 400\text{ kg} = 800\text{ kg} \] Одговор: Површина њиве је \(2\text{ a}\), а очекивани принос износи \(800\text{ kg}\).
