Најважније из лекције
Формуле површине:
Практични прорачуни:
- Квадрат: \( P = a \cdot a \) (ако је познат обим: \( a = O : 4 \)).
- Правоугаоник: \( P = a \cdot b \).
Практични прорачуни:
- При дељењу површина (поплочавање), јединице морају бити усклађене: \( 1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2 \).
- Потрошња материјала: \( \text{материјал} = P_{\text{укупно}} : (\text{површина по јединици материјала}) \).
Површина је мера величине дела равни који одређена геометријска фигура заузима. Мерење површине врши се одређивањем броја јединичних квадрата који прекривају дату фигуру.
Површина квадрата:
\[ P = a \cdot a \]
\( a \) – дужина странице квадрата
Површина правоугаоника:
\[ P = a \cdot b \]
\( a \) и \( b \) – дужине суседних страница правоугаоника
Израчунај површину правоугаоника чије су странице дужина \( a = 15\text{ m} \) и \( b = 3\text{ m} \).
\[ P = a \cdot b = 15\text{ m} \cdot 3\text{ m} = 45\text{ m}^2 \]
Обим квадрата: \( O = 4 \cdot a \implies a = O : 4 \)
Обим правоугаоника: \( O = 2 \cdot (a + b) \)
Обим правоугаоника: \( O = 2 \cdot (a + b) \)
Када је познат обим квадрата, површина се рачуна у два корака:
- Налажење странице квадрата дељењем обима са 4: \( a = O : 4 \).
- Израчунавање површине квадрата: \( P = a \cdot a \).
Од свих четвороуглова са истим обимом, квадрат има највећу површину. Ако правоугаоник и квадрат имају једнаке обиме, површина квадрата је увек већа од површине правоугаоника.
Правоугаоник има странице \( 8\text{ cm} \) и \( 12\text{ cm} \).
Његов обим је \( O = 2 \cdot (8 + 12) = 40\text{ cm} \), а површина \( P = 8 \cdot 12 = 96\text{ cm}^2 \).
Квадрат истог обима има страницу \( a = 40 : 4 = 10\text{ cm} \), а његова површина је \( P = 10 \cdot 10 = 100\text{ cm}^2 \).
Квадрат има већу површину (\( 100\text{ cm}^2 > 96\text{ cm}^2 \)).
Његов обим је \( O = 2 \cdot (8 + 12) = 40\text{ cm} \), а површина \( P = 8 \cdot 12 = 96\text{ cm}^2 \).
Квадрат истог обима има страницу \( a = 40 : 4 = 10\text{ cm} \), а његова површина је \( P = 10 \cdot 10 = 100\text{ cm}^2 \).
Квадрат има већу површину (\( 100\text{ cm}^2 > 96\text{ cm}^2 \)).
Основне везе међу мерним јединицама за површину:
\[ 1\text{ m} = 100\text{ cm} \implies 1\text{ m}^2 = 100\text{ cm} \cdot 100\text{ cm} = 10\,000\text{ cm}^2 \]
Да бисмо одредили потребан број плочица за поплочавање пода, површина пода и површина једне плочице морају бити изражене у истој мерној јединици:
\[ \text{Број плочица} = \frac{P_{\text{пода}}}{P_{\text{плочице}}} \]
- Утрошак материјала: Укупна површина дели се површином коју покрива једна јединица мере материјала (нпр. \( 1\text{ kg} \) боје за \( 6\text{ m}^2 \)).
- Расподела површине: Површина по једној јединици (нпр. стаблу) рачуна се дељењем укупне површине укупним бројем засађених јединица: \[ P_{\text{по стаблу}} = P_{\text{укупно}} : \text{број стабала} \]
- Анализа података: Одредити шта је познато, а шта се тражи у задатку.
- Постављање плана: Идентификовати међукораке (нпр. израчунавање делова збира, узастопних разлика или вишеструких вредности).
- Извођење рачунских операција: Пажљиво спровести писмено сабирање, одузимање, множење и дељење вишецифрених бројева.
Растојања међу тачкама на путу:
Ако се на праволинијском путу налазе насеља \( A, B, V, G \) редом, растојање између било која два места је збир појединачних деоница: \[ \text{Удаљеност } A\text{–}G = AB + BV + VG \]
Ако се на праволинијском путу налазе насеља \( A, B, V, G \) редом, растојање између било која два места је збир појединачних деоница: \[ \text{Удаљеност } A\text{–}G = AB + BV + VG \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Воћњак облика правоугаоника има дужину \( 40\text{ m} \) и ширину \( 25\text{ m} \). У њему је посађено 50 стабала крушке. Колико квадратних метара заузима једно стабло ако су распоређена равномерно?
1. Корак: Рачунамо укупну површину воћњака:
\[ P = a \cdot b = 40\text{ m} \cdot 25\text{ m} = 1\,000\text{ m}^2 \]
2. Корак: Делимо укупну површину бројем стабала:
\[ 1\,000\text{ m}^2 : 50 = 20\text{ m}^2 \]
Одговор: Једно стабло заузима \( 20\text{ m}^2 \).
Задатак 2 (Срењи): Обим квадрата износи \( 280\text{ cm} \). Израчунај површину тог квадрата.
1. Корак: Из формуле за обим одређујемо дужину странице квадрата:
\[ a = O : 4 = 280\text{ cm} : 4 = 70\text{ cm} \]
2. Корак: Рачунамо површину квадрата:
\[ P = a \cdot a = 70\text{ cm} \cdot 70\text{ cm} = 4\,900\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина квадрата је \( 4\,900\text{ cm}^2 \).
Задатак 3 (Срењи): У свечаној сали потребно је обојити два зида. Димензије првог зида су \( 15\text{ m} \) и \( 3\text{ m} \), а другог \( 7\text{ m} \) и \( 3\text{ m} \). Колико килограма фарбе је потребно набавити ако се за сваких \( 6\text{ m}^2 \) површине потроши \( 1\text{ kg} \) фарбе?
1. Корак: Рачунамо површине оба зида:
\[ P_1 = 15\text{ m} \cdot 3\text{ m} = 45\text{ m}^2 \]
\[ P_2 = 7\text{ m} \cdot 3\text{ m} = 21\text{ m}^2 \]
2. Корак: Рачунамо укупну површину за бојење:
\[ P_{\text{укупно}} = 45\text{ m}^2 + 21\text{ m}^2 = 66\text{ m}^2 \]
3. Корак: Рачунамо потребну количину фарбе:
\[ 66 : 6 = 11\text{ kg} \]
Одговор: Потребно је \( 11\text{ kg} \) фарбе.
Задатак 4 (Тежак): Под просторије квадратног облика странице дужине \( 5\text{ m} \) треба поплочати керамичким плочицама правоугаоног облика чије су димензије \( 25\text{ cm} \) и \( 10\text{ cm} \). Колико је таквих плочица потребно за овај посао?
1. Корак: Претварамо димензију странице пода у центиметре:
\[ a = 5\text{ m} = 500\text{ cm} \]
2. Корак: Рачунамо површину пода у \( \text{cm}^2 \):
\[ P_{\text{пода}} = 500\text{ cm} \cdot 500\text{ cm} = 250\,000\text{ cm}^2 \]
3. Корак: Рачунамо површину једне плочице:
\[ P_{\text{плочице}} = 25\text{ cm} \cdot 10\text{ cm} = 250\text{ cm}^2 \]
4. Корак: Дељењем укупне површине са површином једне плочице добијамо укупан број плочица:
\[ 250\,000\text{ cm}^2 : 250\text{ cm}^2 = 1\,000 \]
Одговор: Потребно је набавити \( 1\,000 \) плочица.
