Најважније из лекције
Кључна правила:
- Непознати чинилац: делимо производ познатим чиниоцем (\( x = c : a \)). Пример: \( x \cdot 5 = 45 \implies x = 45 : 5 = 9 \).
- Непознати дељеник: множимо количник делиоцем (\( x = b \cdot a \)). Пример: \( x : 6 = 7 \implies x = 7 \cdot 6 = 42 \).
- Непознати делилац: делимо дељеник количником (\( x = a : b \)). Пример: \( 48 : x = 8 \implies x = 48 : 8 = 6 \).
- Сложеније једначине: ако је на једној страни бројни израз, прво га израчунамо, па решавамо једначину.
Непознати чинилац израчунава се тако што се производ подели познатим чиниоцем.
\[ a \cdot x = c \implies x = c : a \]
\[ x \cdot b = c \implies x = c : b \]
\(a, b\) – чиниоци, \(c\) – производ
Одредити непознати број \(a\):
\[ a \cdot 100 = 12\,000 \]
\[ a = 12\,000 : 100 \]
\[ a = 120 \]
Провера: \( 120 \cdot 100 = 12\,000 \)
Реши једначину: \( 17 \cdot x = 1\,700 \).
\( x = 1\,700 : 17 \)
\( x = 100 \)
Провера: \( 17 \cdot 100 = 1\,700 \)
\( x = 100 \)
Провера: \( 17 \cdot 100 = 1\,700 \)
Непознати дељеник израчунава се тако што се количник помножи делиоцем.
\[ x : a = b \implies x = b \cdot a \]
\(x\) – дељеник, \(a\) – делилац, \(b\) – количник
Одредити непознати број \(x\):
\[ x : 4 = 500 \]
\[ x = 500 \cdot 4 \]
\[ x = 2\,000 \]
Провера: \( 2\,000 : 4 = 500 \)
Реши једначину: \( m : 17 = 30 \).
\( m = 30 \cdot 17 \)
\( m = 510 \)
Провера: \( 510 : 17 = 30 \)
\( m = 510 \)
Провера: \( 510 : 17 = 30 \)
Непознати делилац израчунава се тако што се дељеник подели количником.
\[ a : x = b \implies x = a : b \]
\(a\) – дељеник, \(x\) – делилац, \(b\) – количник
Одредити непознати број \(x\):
\[ 240\,000 : x = 80 \]
\[ x = 240\,000 : 80 \]
\[ x = 3\,000 \]
Провера: \( 240\,000 : 3\,000 = 80 \)
Реши једначину: \( 7\,068 : y = 93 \).
\( y = 7\,068 : 93 \)
\( y = 76 \)
Провера: \( 7\,068 : 76 = 93 \)
\( y = 76 \)
Провера: \( 7\,068 : 76 = 93 \)
Када се на једној страни једначине налази бројни израз (са сабирањем, одузимањем, множењем или дељењем), једначина се решава у два корака:
Израчунати вредност бројног израза са те стране једнакости.
Применити одговарајуће правило за одређивање непознатог броја (чиниоца, дељеника или делиоца).
Реши једначину: \( k \cdot 9 = 17\,924 + 18\,976 \)
1. Израчунавамо збир са десне стране: \[ 17\,924 + 18\,976 = 36\,900 \] 2. Записујемо упрошћену једначину и одређујемо непознати чинилац: \[ k \cdot 9 = 36\,900 \] \[ k = 36\,900 : 9 \] \[ k = 4\,100 \] Провера: \( 4\,100 \cdot 9 = 36\,900 \), а \( 17\,924 + 18\,976 = 36\,900 \).
1. Израчунавамо збир са десне стране: \[ 17\,924 + 18\,976 = 36\,900 \] 2. Записујемо упрошћену једначину и одређујемо непознати чинилац: \[ k \cdot 9 = 36\,900 \] \[ k = 36\,900 : 9 \] \[ k = 4\,100 \] Провера: \( 4\,100 \cdot 9 = 36\,900 \), а \( 17\,924 + 18\,976 = 36\,900 \).
Реши једначину: \( 15\,500 : t = 91 - 66 \).
\( 15\,500 : t = 25 \)
\( t = 15\,500 : 25 \)
\( t = 620 \)
Провера: \( 15\,500 : 620 = 25 \), а \( 91 - 66 = 25 \).
\( t = 15\,500 : 25 \)
\( t = 620 \)
Провера: \( 15\,500 : 620 = 25 \), а \( 91 - 66 = 25 \).
Текстуални опис се преводи у математички запис препознавањем назива чланова рачунских операција:
| Текстуални опис | Једначина | Непозната је... |
|---|---|---|
| Који број помножен бројем \(16\) даје производ \(5\,520\)? | \( x \cdot 16 = 5\,520 \) | Непознати чинилац |
| Одреди дељеник ако је делилац \(56\), а количник \(212\). | \( x : 56 = 212 \) | Непознати дељеник |
| Колики је делилац ако је дељеник \(140\,000\), а количник \(25\)? | \( 140\,000 : x = 25 \) | Непознати делилац |
Састави једначину: Делилац је број \(18\), а количник \(5\,214\). Одреди дељеник.
Једначина: \( x : 18 = 5\,214 \)
\( x = 5\,214 \cdot 18 \)
\( x = 93\,852 \)
\( x = 5\,214 \cdot 18 \)
\( x = 93\,852 \)
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Реши једначине:
а) \( x \cdot 70 = 280 \)
б) \( a : 20 = 400 \)
а) \( x \cdot 70 = 280 \)
б) \( a : 20 = 400 \)
а) Непознати чинилац:
\( x = 280 : 70 \)
\( x = 4 \)
Провера: \( 4 \cdot 70 = 280 \)
б) Непознати дељеник:
\( a = 400 \cdot 20 \)
\( a = 8\,000 \)
Провера: \( 8\,000 : 20 = 400 \)
\( x = 280 : 70 \)
\( x = 4 \)
Провера: \( 4 \cdot 70 = 280 \)
б) Непознати дељеник:
\( a = 400 \cdot 20 \)
\( a = 8\,000 \)
Провера: \( 8\,000 : 20 = 400 \)
Задатак 2 (средњи): Израчунај непознати број:
\[ m : 17 = 1\,045 + 675 \]
Прво израчунавамо вредност збира са десне стране:
\( 1\,045 + 675 = 1\,720 \)
Једначина постаје:
\( m : 17 = 1\,720 \)
Одређујемо непознати дељеник:
\( m = 1\,720 \cdot 17 \)
\( m = 29\,240 \)
Провера:
\( 29\,240 : 17 = 1\,720 \)
\( 1\,045 + 675 = 1\,720 \)
\( 1\,045 + 675 = 1\,720 \)
Једначина постаје:
\( m : 17 = 1\,720 \)
Одређујемо непознати дељеник:
\( m = 1\,720 \cdot 17 \)
\( m = 29\,240 \)
Провера:
\( 29\,240 : 17 = 1\,720 \)
\( 1\,045 + 675 = 1\,720 \)
Задатак 3 (средњи): Кад је Зоја неки број поделила бројем \(19\), добила је количник \(867\). Који је број Зоја поделила? Састави једначину и реши је.
Нека је непознати број \(x\).
Једначина: \( x : 19 = 867 \)
\( x = 867 \cdot 19 \)
\( x = 16\,473 \)
Провера: \( 16\,473 : 19 = 867 \)
Одговор: Зоја је поделила број \(16\,473\).
Једначина: \( x : 19 = 867 \)
\( x = 867 \cdot 19 \)
\( x = 16\,473 \)
Провера: \( 16\,473 : 19 = 867 \)
Одговор: Зоја је поделила број \(16\,473\).
Задатак 4 (тежак): Збир два броја је \(85\), а њихов количник је \(4\). Одреди те бројеве састављањем једначине.
Пошто је количник два броја \(4\), већи број је \(4\) пута већи од мањег броја.
Ако мањи број означимо са \(x\), онда је већи број \(4 \cdot x\).
Њихов збир је \(85\), па састављамо једначину:
\( x + 4 \cdot x = 85 \)
\( 5 \cdot x = 85 \)
Непознати чинилац:
\( x = 85 : 5 \)
\( x = 17 \) (мањи број)
Већи број је:
\( 4 \cdot 17 = 68 \)
Провера:
Збир: \( 17 + 68 = 85 \)
Количник: \( 68 : 17 = 4 \)
Одговор: Тражени бројеви су \(17\) и \(68\).
Ако мањи број означимо са \(x\), онда је већи број \(4 \cdot x\).
Њихов збир је \(85\), па састављамо једначину:
\( x + 4 \cdot x = 85 \)
\( 5 \cdot x = 85 \)
Непознати чинилац:
\( x = 85 : 5 \)
\( x = 17 \) (мањи број)
Већи број је:
\( 4 \cdot 17 = 68 \)
Провера:
Збир: \( 17 + 68 = 85 \)
Количник: \( 68 : 17 = 4 \)
Одговор: Тражени бројеви су \(17\) и \(68\).
