Најважније из лекције
Разломак приказује делове целине: \(\frac{\text{бројилац}}{\text{именилац}}\). Када је бројилац једнак имениоцу, вредност је \(1\) цело (\(\frac{n}{n} = 1\)).
Поређење: За исти именилац већи је разломак са већим бројиоцем (\(\frac{5}{8} > \frac{3}{8}\)); за исти бројилац већи је разломак са мањим имениоцем (\(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\)).
Део броја: Делимо број имениоцем, па множимо бројиоцем: \(\frac{3}{7}\) од \(630 = (630 : 7) \cdot 3 = 270\).
Цео број из дела: Вредност једног дела множимо имениоцем: ако је \(\frac{1}{9}\) једнако \(969\), цео број је \(969 \cdot 9 = 8\,721\).
Мерне јединице: Већу јединицу претварамо у мању пре израчунавања разломка (нпр. \(\frac{2}{5}\text{ m} = \frac{2}{5}\) од \(100\text{ cm} = 40\text{ cm}\)).
Поређење: За исти именилац већи је разломак са већим бројиоцем (\(\frac{5}{8} > \frac{3}{8}\)); за исти бројилац већи је разломак са мањим имениоцем (\(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\)).
Део броја: Делимо број имениоцем, па множимо бројиоцем: \(\frac{3}{7}\) од \(630 = (630 : 7) \cdot 3 = 270\).
Цео број из дела: Вредност једног дела множимо имениоцем: ако је \(\frac{1}{9}\) једнако \(969\), цео број је \(969 \cdot 9 = 8\,721\).
Мерне јединице: Већу јединицу претварамо у мању пре израчунавања разломка (нпр. \(\frac{2}{5}\text{ m} = \frac{2}{5}\) од \(100\text{ cm} = 40\text{ cm}\)).
Разломак приказује један или више једнаких делова целине.
Именилац (број испод разломачке црте) показује на колико једнаких делова је целина подељена.
Бројилац (број изнад разломачке црте) показује колико је таквих делова узето (или обојено).
\[ \text{Разломак} = \frac{\text{бројилац}}{\text{именилац}} \]
Ако је правоугаоник подељен на \(6\) једнаких делова, а обојен је \(1\) део, тај део записујемо као \(\frac{1}{6}\) целине (једна шестина).
Ако фигуру поделимо на \(8\) једнаких делова и обојимо \(3\) дела, који разломак представља обојени део, а који необојени део?
Обојени део представља \(\frac{3}{8}\), а необојени део представља \(\frac{5}{8}\) фигуре.
Једно цело се записује као разломак чији су бројилац и именилац једнаки:
\[ 1 = \frac{2}{2} = \frac{4}{4} = \frac{7}{7} = \frac{8}{8} = \frac{10}{10} \]
| 1 цело има | Имам | Треба да додам до целог |
|---|---|---|
| \(\frac{4}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{3}{4}\) |
| \(\frac{7}{7}\) | \(\frac{2}{7}\) | \(\frac{5}{7}\) |
| \(\frac{8}{8}\) | \(\frac{6}{8}\) | \(\frac{2}{8}\) |
| \(\frac{10}{10}\) | \(\frac{5}{10}\) | \(\frac{5}{10}\) |
Колико треба додати разломку \(\frac{3}{11}\) да би се добило једно цело?
Једно цело износи \(\frac{11}{11}\). До целог треба додати:
\[ \frac{11}{11} - \frac{3}{11} = \frac{8}{11} \]
Исти имениоци: Од два разломка са истим имениоцима, већи је онај који има већи бројилац.
\[ \frac{5}{8} > \frac{3}{8}, \quad \frac{7}{10} < \frac{8}{10} \]
Исти бројиоци: Од два разломка са истим бројиоцима, већи је онај који има мањи именилац (јер мањи именилац значи да је целина подељена на мање, а самим тим крупније делове).
\[ \frac{1}{3} > \frac{1}{5}, \quad \frac{2}{5} > \frac{2}{7}, \quad \frac{7}{4} > \frac{7}{8} \]
Упореди разломке:
а) \(\frac{4}{9}\) и \(\frac{7}{9}\)
б) \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{3}{8}\)
а) \(\frac{4}{9}\) и \(\frac{7}{9}\)
б) \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{3}{8}\)
а) Пошто су имениоци исти, већи је разломак са већим бројиоцем: \(\frac{4}{9} < \frac{7}{9}\).
б) Пошто су бројиоци исти, већи је онај са мањим имениоцем: \(\frac{3}{5} > \frac{3}{8}\).
б) Пошто су бројиоци исти, већи је онај са мањим имениоцем: \(\frac{3}{5} > \frac{3}{8}\).
Да би се одредио део неког броја, број се дели имениоцем, па се резултат множи бројиоцем:
\[ \frac{m}{n} \text{ од } A = (A : n) \cdot m \]
Израчунај \(\frac{3}{7}\) броја \(630\):
\[ (630 : 7) \cdot 3 = 90 \cdot 3 = 270 \]
Ако је позната вредност једног дела целине (\(\frac{1}{n}\)), цео број се добија множењем те вредности имениоцем:
\[ \text{Цео број} = \text{вредност дела} \cdot n \]
Ако \(\frac{1}{9}\) броја износи \(969\), цео број је:
\[ 969 \cdot 9 = 8\,721 \]
Одреди \(\frac{3}{4}\) броја \(240\).
\[ (240 : 4) \cdot 3 = 60 \cdot 3 = 180 \]
Да бисмо израчунали део мерне јединице, најпре већу мерну јединицу претворимо у мању, а затим израчунамо део тог броја.
\[ 1\ \ell = 100\text{ cl}, \quad 1\text{ m} = 100\text{ cm} = 1\,000\text{ mm}, \quad 1\text{ kg} = 1\,000\text{ g}, \quad 1\text{ t} = 1\,000\text{ kg}, \quad 1\text{ hl} = 100\ \ell \]
- \(\frac{3}{4}\ \ell = \frac{3}{4}\) од \(100\text{ cl} = (100 : 4) \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75\text{ cl}\)
- \(\frac{2}{5}\text{ m} = \frac{2}{5}\) од \(100\text{ cm} = (100 : 5) \cdot 2 = 20 \cdot 2 = 40\text{ cm}\)
- \(\frac{1}{8}\text{ kg} = 1\,000\text{ g} : 8 = 125\text{ g}\)
- \(\frac{2}{10}\text{ t} = (1\,000\text{ kg} : 10) \cdot 2 = 100 \cdot 2 = 200\text{ kg}\)
Израчунај колико је \(\frac{3}{5}\text{ hl}\) у литрима (\(\ell\)).
Пошто је \(1\text{ hl} = 100\ \ell\):
\[ (100\ \ell : 5) \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60\ \ell \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Поређај разломке \(\frac{7}{8}, \frac{7}{5}, \frac{7}{3}, \frac{7}{4}, \frac{7}{2}, \frac{7}{7}\) од најмањег до највећег.
Сви разломци имају исти бројилац (\(7\)), па је најмањи онај који има највећи именилац:
\[ \frac{7}{8} < \frac{7}{7} < \frac{7}{5} < \frac{7}{4} < \frac{7}{3} < \frac{7}{2} \]
Задатак 2 (средњи): Растојање између два места износи \(360\text{ km}\). Возач је прешао \(\frac{4}{5}\) пута. Колико му је километара остало да пређе?
1. начин:
Пут који је прешао: \((360 : 5) \cdot 4 = 72 \cdot 4 = 288\text{ km}\).
Преостали пут: \(360 - 288 = 72\text{ km}\).
2. начин:
Ако је прешао \(\frac{4}{5}\), до целог пута (\(\frac{5}{5}\)) остала је \(\frac{1}{5}\) пута: \[ 360 : 5 = 72\text{ km} \] Одговор: Остало му је још \(72\text{ km}\).
Пут који је прешао: \((360 : 5) \cdot 4 = 72 \cdot 4 = 288\text{ km}\).
Преостали пут: \(360 - 288 = 72\text{ km}\).
2. начин:
Ако је прешао \(\frac{4}{5}\), до целог пута (\(\frac{5}{5}\)) остала је \(\frac{1}{5}\) пута: \[ 360 : 5 = 72\text{ km} \] Одговор: Остало му је још \(72\text{ km}\).
Задатак 3 (средњи/тежи): Мама је понела \(1\,500\) динара. Потрошила је \(\frac{3}{10}\) новца на пијаци, а \(\frac{1}{5}\) остатка у продавници. Колико јој је новца остало?
1. Новац потрошен на пијаци:
\[ (1\,500 : 10) \cdot 3 = 150 \cdot 3 = 450\text{ динара} \]
2. Остатак новца након пијаце:
\[ 1\,500 - 450 = 1\,050\text{ динара} \]
3. Новац потрошен у продавници (\(\frac{1}{5}\) остатка):
\[ 1\,050 : 5 = 210\text{ динара} \]
4. Коначан остатак новца:
\[ 1\,050 - 210 = 840\text{ динара} \]
Одговор: Мами је остало \(840\) динара.
Задатак 4 (тежак): Путник је прешао \(\frac{1}{2}\) пута аутомобилом, \(\frac{2}{6}\) бициклом, а последњих \(6\text{ km}\) пешке. Колико је дуг цео пут?
Прикажимо први део пута у шестинама, пошто је половина исто што и три шестине:
\[ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \]
Укупан део пута који је путник прешао аутом и бициклом је:
\[ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \text{ целог пута} \]
Остатак који је прешао пешке износи:
\[ \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \text{ целог пута} \]
Пошто \(\frac{1}{6}\) пута износи \(6\text{ km}\), дужину целог пута добијамо множењем имениоцем:
\[ 6 \cdot 6 = 36\text{ km} \]
Одговор: Дужина целог пута је \(36\text{ km}\).
