Најважније из лекције
Сабирање разломака истих именилаца: \(\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n}\) (нпр. \(\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}\)).
Одузимање разломака истих именилаца: \(\frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a-b}{n}\) (нпр. \(\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}\)).
Број 1 као разломак: Број 1 се може написати као разломак са истим бројиоцем и имениоцем: \(1 = \frac{2}{2} = \frac{5}{5} = \frac{9}{9}\).
Одузимање од 1: \(1 - \frac{a}{n} = \frac{n}{n} - \frac{a}{n} = \frac{n-a}{n}\) (нпр. \(1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)).
Поређење са 1: Разломак је мањи од 1 ако је бројилац мањи од имениоца (\(\frac{2}{3} < 1\)), једнак је 1 ако су једнаки (\(\frac{7}{7} = 1\)), а већи од 1 ако је бројилац већи од имениоца (\(\frac{5}{4} > 1\)).
Одузимање разломака истих именилаца: \(\frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a-b}{n}\) (нпр. \(\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}\)).
Број 1 као разломак: Број 1 се може написати као разломак са истим бројиоцем и имениоцем: \(1 = \frac{2}{2} = \frac{5}{5} = \frac{9}{9}\).
Одузимање од 1: \(1 - \frac{a}{n} = \frac{n}{n} - \frac{a}{n} = \frac{n-a}{n}\) (нпр. \(1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)).
Поређење са 1: Разломак је мањи од 1 ако је бројилац мањи од имениоца (\(\frac{2}{3} < 1\)), једнак је 1 ако су једнаки (\(\frac{7}{7} = 1\)), а већи од 1 ако је бројилац већи од имениоца (\(\frac{5}{4} > 1\)).
Разломци који имају једнаке имениоце сабирају се тако што се њихови бројиоци саберу, а именилац се препише непромењен.
\[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n} \]
\[ \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5} \]
\[ \frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{2 + 4}{7} = \frac{6}{7} \]
Израчунај збир разломака: \(\frac{3}{10} + \frac{4}{10}\).
\[ \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3 + 4}{10} = \frac{7}{10} \]
Разломци који имају једнаке имениоце одузимају се тако што се од бројиоца умањеника одузме бројилац умањиоца, а именилац се препише непромењен.
\[ \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n} \]
\[ \frac{6}{9} - \frac{2}{9} = \frac{6 - 2}{9} = \frac{4}{9} \]
\[ \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{8 - 5}{10} = \frac{3}{10} \]
Израчунај разлику разломака: \(\frac{7}{8} - \frac{2}{8}\).
\[ \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{7 - 2}{8} = \frac{5}{8} \]
Вредност разломка у односу на број 1 одређује се упоређивањем бројиоца и имениоца:
- Ако је бројилац једнак имениоцу, разломак је једнак 1: \[ \frac{n}{n} = 1 \quad \left(\text{нпр. } \frac{2}{2} = 1, \; \frac{5}{5} = 1, \; \frac{8}{8} = 1\right) \]
- Ако је бројилац мањи од имениоца, разломак је мањи од 1: \[ \frac{a}{n} < 1 \quad (\text{за } a < n) \quad \left(\text{нпр. } \frac{3}{4} < 1, \; \frac{4}{5} < 1\right) \]
- Ако је бројилац већи од имениоца, разломак је већи од 1: \[ \frac{a}{n} > 1 \quad (\text{за } a > n) \quad \left(\text{нпр. } \frac{5}{4} > 1, \; \frac{7}{3} > 1\right) \]
Упореди разломке са бројем 1 (упиши \(<\), \(>\) или \(=\)):
а) \(\frac{4}{5} \; \square \; 1\)
б) \(\frac{6}{6} \; \square \; 1\)
в) \(\frac{9}{8} \; \square \; 1\)
а) \(\frac{4}{5} \; \square \; 1\)
б) \(\frac{6}{6} \; \square \; 1\)
в) \(\frac{9}{8} \; \square \; 1\)
а) \(\frac{4}{5} < 1\) (бројилац 4 је мањи од имениоца 5)
б) \(\frac{6}{6} = 1\) (бројилац и именилац су једнаки)
в) \(\frac{9}{8} > 1\) (бројилац 9 је већи од имениоца 8)
б) \(\frac{6}{6} = 1\) (бројилац и именилац су једнаки)
в) \(\frac{9}{8} > 1\) (бројилац 9 је већи од имениоца 8)
Да би се разломак одузео од целог броја 1, број 1 се прво запише у облику разломка са истим имениоцем (\(1 = \frac{n}{n}\)), а затим се изврши одузимање бројилаца.
\[ 1 - \frac{a}{n} = \frac{n}{n} - \frac{a}{n} = \frac{n - a}{n} \]
\[ 1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \]
\[ 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]
Који разломак треба одузети од 1 да би се добило \(\frac{2}{7}\)?
Непознати разломак налазимо одузимањем од 1:
\[ 1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \]
Одговор: Потребно је одузети \(\frac{5}{7}\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредности израза:
а) \(\frac{2}{6} + \frac{3}{6}\)
б) \(\frac{7}{9} - \frac{4}{9}\)
а) \(\frac{2}{6} + \frac{3}{6}\)
б) \(\frac{7}{9} - \frac{4}{9}\)
а) \(\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}\)
б) \(\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{7 - 4}{9} = \frac{3}{9}\)
б) \(\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{7 - 4}{9} = \frac{3}{9}\)
Задатак 2 (средњи): Марко и Јован заједно сакупљају сличице за албум. Марко има \(\frac{4}{9}\) свих сличица, а Јован има \(\frac{3}{9}\) свих сличица. Ако немају исте сличице:
а) Који део албума су укупно попунили?
б) Колики део албума им недостаје да би био цео попуњен?
а) Који део албума су укупно попунили?
б) Колики део албума им недостаје да би био цео попуњен?
а) Сабирамо делове које имају:
\[ \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{4 + 3}{9} = \frac{7}{9} \]
Заједно су попунили \(\frac{7}{9}\) албума.
б) Одузимамо попуњени део од једног целог (\(1 = \frac{9}{9}\)): \[ 1 - \frac{7}{9} = \frac{9}{9} - \frac{7}{9} = \frac{2}{9} \] Одговор: Заједно су попунили \(\frac{7}{9}\), а недостаје им још \(\frac{2}{9}\) сличица.
б) Одузимамо попуњени део од једног целог (\(1 = \frac{9}{9}\)): \[ 1 - \frac{7}{9} = \frac{9}{9} - \frac{7}{9} = \frac{2}{9} \] Одговор: Заједно су попунили \(\frac{7}{9}\), а недостаје им још \(\frac{2}{9}\) сличица.
Задатак 3 (тежак): Израчунај вредност бројевног израза:
\[ \left(\frac{5}{9} - \frac{2}{9}\right) + \frac{3}{9} \]
Затим одреди да ли је добијени резултат мањи од 1, једнак 1 или већи од 1.
Прво рачунамо операцију у загради:
\[ \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} \]
Затим додајемо преостали разломак:
\[ \frac{3}{9} + \frac{3}{9} = \frac{6}{9} \]
Пошто је бројилац мањи од имениоца (\(6 < 9\)), вредност израза је мања од 1:
\[ \frac{6}{9} < 1 \]
Одговор: Вредност израза је \(\frac{6}{9}\), што је мање од 1.
